גנוס (טופולוגיה)

פני הבייגלה הם משטח מכוון בעל גנוס 3

בטופולוגיה ותחומים מתמטיים אחרים, הגנוס של משטח הוא מספר טבעי, המאפיין את היריעה מבחינה טופולוגית. הגנוס סופר, במובן מסוים, כמה "חורים" יש למשטח. לדוגמה, פני הכדור (הספירה הדו-ממדית) הם המשטח הניתן לכיוון היחיד בעל גנוס 0. לטורוס יש גנוס 1.

הגנוס הוא תכונה יסודית של משטחים מכוונים, ויותר מזה: כל שני משטחים סגורים מכוונים עם אותו גנוס הומיאומורפיים זה לזה.

הגנוס של משטח מכוון

מבחינה טופולוגית, משטח הוא יריעה דו-ממדית, שכמותה אפשר לתפור ולחבר מיריעות עור. היריעה צריכה להיות סגורה ונטולת שפה, כמו פני כדור או טורוס. המשטח ניתן לכיוון אם יש לו שני צדדים - כמו פני הכדור, ושלא כמו בקבוק קליין.

הגנוס g של משטח מכוון מוגדר כמספר הגדול ביותר של חתכים שאפשר לעשות במשטח לאורך מסילות סגורות שאינן נפגשות, בלי לנתק אותו. במקרה כזה, המספר הגדול ביותר של חתכים שאפשר לעשות במשטח בלי לנתק אותו, כאשר אין אוסרים על המסילות להיפגש, הוא 2g. המספר האחרון שווה למספר בטי הראשון של המשטח, $\ \beta _{1}(X)=2g$. החבורה היסודית של משטח מכוון מגנוס g היא "חבורת המשטח" $\ \langle x_{1},y_{1},\dots ,x_{g},y_{g}\,|\,[x_{1},y_{1}]\cdots [x_{g},y_{g}]=1\rangle$.

• הגנוס של משטחים מכוונים
• 
  גנוס 0
• 
  גנוס 1
• 
  גנוס 2
• 
  גנוס 3

הגנוס קשור למאפיין אוילר באמצעות היחס $\,\chi =2(1-g)$. את המיון של משטחים מכוונים סגורים על-פי הגנוס שלהם הוכיח קאמי ז'ורדן ב-1866.

משטחי רימן

על משטח סגור מכוון אפשר להגדיר מבנה אנליטי ההופך אותו למשטח רימן, ומתייחסים לגנוס של משטח רימן, גם כשהכוונה היא לגנוס של המשטח מבחינה טופולוגית. בהקשר זה, הגנוס סופר כמה דיפרנציאלים שלמים בלתי תלויים מוגדרים על המשטח. אחד המשפטים המרכזיים בתאוריה של משטחי רימן, אי-שוויון רימן, קובע את קיומן של פונקציות מרומורפיות לא קבועות על המשטח, בכפוף להנחות מוגדרות מראש. פונקציות כאלה קיימות בתנאי שמספר ההנחות עולה על הגנוס, ולכן אפשר לומר שככל שיש למשטח גנוס גבוה יותר, "קשה יותר" לבנות עבורו פונקציות לא קבועות.

למרחב טייכמילר, הממיין את יריעות רימן מגנוס g, יש ממד $\ 6(g-1)$.

הכללות

משטחים עם שפה

אפשר להגדיר גנוס גם למשטח עם שפה. אם למשטח יש b מרכיבי שפה (לדוגמה, לפני כוס יש מרכיב שפה אחד, ולצינור - שניים), אז מאפיין אוילר והגנוס קשורים על ידי היחס $\,\chi =2(1-g)-b$. לכן לעיגול יש גנוס 0.

משטחים לא מכוונים

עבור משטח סגור לא מכוון, הגנוס מייצג את מספר טבעות מביוס שאפשר "לקלף" ממנו עד שמתקבלת ספירה. גם כאן יש קשר קבוע למאפיין אוילר: $\,\chi =2-g$. לדוגמה, למישור הפרויקטיבי גנוס 1, ולבקבוק קליין גנוס 2.

אפשר למיין את כל המשטחים הסגורים באופן מלא על ידי מאפיין אוילר שלהם, או לחלופין על ידי הכיווניות (או היעדרה) והגנוס.

ראו גם

• גנוס (גאומטריה אלגברית)