תיבת אוילר

תיבת אוילר עם צלעות $a,b,c$ ואלכסוני פאות $d,e,f$

במתמטיקה, תיבת אוילר, שנקראת על שם לאונרד אוילר, היא תיבה אשר לכל צלעותיה ואלכסוני הפאות שלה יש אורכים שהם מספרים טבעיים. תיבת אוילר פרימיטיבית היא תיבת אוילר שכל האורכים של צלעותיה זרים זה לזה.

הגדרה

ההגדרה של תיבת אוילר במונחים גאומטריים היא (בהתאם למשפט פיתגורס) שקולה לפתרון של מערכת המשוואות הדיופנטיות הבאות:

${\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}$

כאשר $a,b,c$ צלעות התיבה ו-$d,e,f$ אלכסוני הפאות. אוילר מצא לפחות שני פתרונות פרמטריים, אך הם לא מרכיבים את כל הפתרונות האפשריים.

נוסחה יוצרת

ניתן לייצר מספר אינסופי של תיבות אוילר בעזרת הנוסחה הפרמטרית הבאה, הודות לאוילר. תהי $(u,v,w)$ שלשה פיתגורית (כלומר $u,v,w$ טבעיים ומקיימים $u^{2}+v^{2}=w^{2}$). אז הביטוי הבא לצלעות התיבה:

$a=u|4v^{2}-w^{2}|,\quad b=v|4u^{2}-w^{2}|,\quad c=4uvw$

נותן אלכסוני פאות:

$d=w^{3},\quad e=u(4v^{2}+w^{2}),\quad f=v(4u^{2}+w^{2})$

דוגמאות

לתיבת אוילר הקטנה ביותר, שנמצאה על ידי Paul Halcke ב-1719, ישנן צלעות $(a,b,c)=(44,117,240)$ ואלכסוני פאות $(d,e,f)=(125,244,267)$ .

תיבה מושלמת

תיבת אוילר עם אלכסון מרחבי $g$

תיבת אוילר תיקרא תיבה מושלמת אם גם לאלכסון המרחבי שלה יש אורך טבעי. במילים אחרות, המשוואה הבאה נוספת למערכת המשוואות הדיופנטיות שמגדירות תיבת אוילר:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}$

כאשר $g$ הוא אורך האלכסון המרחבי. נכון למאי 2015, לא נמצאה שום דוגמה לתיבה מושלמת ועדיין לא הוכח כי תיבות מושלמות לא קיימות.