משוואה פונקציונלית

במתמטיקה, משוואה פונקציונלית היא משוואה שהנעלם שלה הוא פונקציה (בדרך כלל פונקציה ממשית). למשוואות המאפשרות הצבה של שני פרמטרים או יותר, כמו משוואת קושי $f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$ , יש בדרך כלל פתרונות רציפים מעטים.

פונקציית זטא של רימן מקיימת את המשוואה הפונקציונלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s)} , שיש לה חשיבות מהותית בהבנת הפונקציה (כאן גמא מייצג את פונקציית גמא, שבעצמה מקיימת כל אחת מן המשוואות $f(x)={f(x+1) \over x}\,\!$ , $f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)$ ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,} ).

דוגמאות נוספות

פונקציית הסינוס מקיימת את המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x+y) = f(x)f(\pi/2-y)+f(y)f(\pi/2-x)\,\!} .

פונקציית הקוסינוס מקיימת את המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x+y) = g(x)g(y)-g(\pi/2-y)g(\pi/2-x)\,\!}

את המשוואה

f(xy)=f(x)f(y)\,\!

מקיימת כל פונקציה מהצורה f(x)=x^a.

את המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x + y) = f(x)f(y), \,\!} מקיימת כל פונקציה מהצורה f(x)=a^x.

המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)]\,\!} נקראת כלל המקבילית.

פתרון משוואה פונקציונלית

יש שלל טכניקות לפתרון משוואה פונקציונלית (או מערכת משוואות פונקציונלית), אבל אין בתחום הזה תאוריה שלמה. אפשר להציב ערכים שונים לפונקציה ולהפוך אותה למערכת משוואות בעלי נעלם יחיד שהוא הפונקציה. דוגמה לכך היא פתרון המשוואה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x+y)^2 = f(x)^2 + f(y)^2\,}

על ידי הצבה של ערכים שונים ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} ביחס ל- $x$ , כגון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=y} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=-y} , אפשר לגלות כי הפתרון היחיד של הפונקציה הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=0} .