קבוצה שאינה בת מנייה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת הקבוצות, קבוצה שאינה בת מנייה היא קבוצה אינסופית המכילה יותר מדי איברים מכדי שניתן יהיה למנות אותם. לפיכך, לא ניתן לבצע התאמה של "אחד כנגד אחד" עם המספרים הטבעיים. תכונה זו קשורה קשר הדוק לעוצמה שלה: קבוצה אינה ניתנת למנייה אם עוצמתה גדולה מאלף אפס, עוצמת המספרים הטבעיים.

לקבוצות בלתי ניתנות למנייה יש יישומים חשובים בענפים שונים של המתמטיקה, כולל באנליזה, מטרולוגיה ובתורת הקבוצות. המושג של אי-מנייה ממלא תפקיד מהותי בהבנת הגודל והמבנה של קבוצות שונות, ויש לו השלכות עמוקות בלוגיקה מתמטית וביסודות המתמטיקה.

רקע

המושג אי-מנייה הוצג בסוף המאה ה-19 על ידי אבי תורת הקבוצות, המתמטיקאי גאורג קנטור. קנטור הראה שקבוצת המספרים הממשיים, הכוללים את כל רצף המספרים, יוצרים קבוצה בלתי ניתנת למנייה. תוצאה זו הייתה מפתיעה באותה תקופה, שכן היא סתרה את האינטואיציה שניתן לרשום או לספור את המספרים הממשיים בדרך כלשהי. ההוכחה של קנטור לאי-מנייה של המספרים הממשיים ידועה בשם "האלכסון של קנטור". ההוכחה בנויה על הוכחה בדרך השלילה. מניחים שניתן לרשום את המספרים הממשיים ברצף, ובונים מספר חדש השונה מכל מספר ברצף, מה שמוביל לסתירה.

מלבד המספרים הממשיים, ישנן דוגמאות נוספות לקבוצות בלתי ניתנות למנייה, כמו קבוצת כל הפונקציות מהמספרים הממשיים למספרים הממשיים, קבוצת כל תת-הקבוצות של המספרים הממשיים, וקבוצת כל הנקודות במרחב אוקלידי.

תכונות

ישנם הרבה מאפיינים מקבילים של אי מנייה. קבוצה $X$ אינה בת מנייה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

• לא קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מ־X לקבוצת המספרים הטבעיים. מכאן נובע גם כי לא קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מ-$X$ לקבוצת המספרים הטבעיים ולכן אינן שקולות עוצמה.
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \neq \emptyset} ואין פונקציה על מהמספרים הטבעיים ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} . כלומר, על כל סדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n} של איברי הקבוצה הלא ריקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , קיים לפחות איבר אחד של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} שאינו בסדרה.
• העוצמה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} אינה סופית ואינה שווה לאלף אפס (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_0} ), עוצמת המספרים הטבעיים.
• לקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} יש עוצמה גדולה יותר מ־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_0} .

ניתן להוכיח את שלושת המאפיינים הללו כשקולים בתורת הקבוצות של צרמלו־פרנקל ללא אקסיומת הבחירה, אך לא ניתן להוכיח את שקילותם של השלישי והרביעי ללא עקרונות בחירה נוספים.

משפט: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} קבוצה שאינה בת מנייה היא תת־קבוצה של קבוצה $Y$, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} אינה בת מנייה.

דוגמאות

דוגמה לקבוצה שאינה בת מנייה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} , קבוצת המספרים הממשיים. האלכסון של קנטור מראה שאי אפשר למנות את איברי הקבוצה. ניתן להשתמש בטכניקת הלכסון גם עבור קבוצות אחרות כדי להראות שאי אפשר למנות את אבריהן, כמו קבוצת כל הסדרות האינסופיות של המספרים הטבעיים, וקבוצת כל תתי־הקבוצות של קבוצת המספרים הטבעיים (כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{P}(\mathbb{N}) } , קבוצת החזקה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}} ). העוצמה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} נקראת לעיתים קרובות עוצמת הרצף, ומסומנת באות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph} , ולעיתים גם בסימונים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{c} } אוהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{\aleph_0}} אוהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_1} .

קבוצת קנטור היא תת-קבוצה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} שאינה בת מנייה. קבוצת קנטור הוא פרקטל ובעל ממד האוסדורף גדול מאפס אבל קטן מאחת. זוהי דוגמה לעובדה הבאה: כל תת-קבוצה של $\mathbb {R}$ של ממד האוסדורף שגדול מאפס, בהכרח אינה בת מנייה.

דוגמה נוספת לקבוצה שאינה בת מנייה היא קבוצת כל הפונקציות מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} ל־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} . קבוצה זו היא אפילו "יותר בלתי ניתנת למנייה" מאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} , במובן זה שעוצמתה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_2} הגדולה מ־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_1} , העוצמה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} .

דוגמה מופשטת יותר לקבוצה בלתי ניתנת למנייה היא אומגה אחת, קבוצת כל המספרים הסודרים הניתנים למנייה. העוצמה של אומגה אחת מסומנת ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_1} . באמצעות אקסיומת הבחירה ניתן להראות ש־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_1} היא העוצמה הקטנה ביותר שאינה בת מנייה. כך גם עוצמת הממשיים, המסומנת ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beth_1} . גאורג קנטור היה הראשון שהעלה את השאלה אם מתקיים השוויוןהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_1 = \beth_1} , במה שלימים כונה "השערת הרצף". שאלה חשובה זו הוצגה בשנת 1900 על ידי דויד הילברט, כראשונה מבין 23 הבעיות שלו. לימים הוכיח קורט גדל כי לא ניתן להפריך אותה, וכ־30 שנה לאחר מכן הוכיח פול כהן שאינה תלויה באקסיומות צרמלו-פרנקל לתורת הקבוצות, כולל אקסיומת הבחירה.

ראו גם

• ב (מתמטיקה)
• אומגה אחת
• פונקציה על
• פונקציה חד-חד-ערכית
• פונקציה חד-חד-ערכית ועל

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', תורת הקבוצות - לכסונים, או למה יש אינסוף אינסופים?, באתר "לא מדויק"

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

קבוצה שאינה בת מנייה36557869Q1128796