תורת הקבוצות האקסיומטית

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תורת הקבוצות האקסיומטית היא תורה מתמטית המהווה ניסוח אקסיומטי של תורת הקבוצות. אף על פי ששימוש בתורת הקבוצות הנאיבית עדיין רווח במתמטיקה, תורת הקבוצות האקסיומטית היא למעשה התורה שאליה מתכוונים מתמטיקאים בהתייחסם לתורת הקבוצות. ביחד עם לוגיקה וענפים אחרים במתמטיקה, תורת הקבוצות האקסיומטית מהווה חלק עיקרי ביסודות המתמטיקה. כמעט כל התורות המתמטיות יכולות להיבנות כמשפטים מתוך תורת הקבוצות האקסיומטית.

היסטוריה

ב-1901 הראה ברטראנד ראסל, באמצעות הפרדוקס של ראסל ופרדוקסים אחרים, שמושג הקבוצה, שפותח רק שנים ספורות קודם לכך על ידי גאורג קנטור, מכיל סתירות פנימיות (אנטינומיות). אנטינומיות אלה סללו את הדרך לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית. התורה פותחה בעיקר על ידי ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל והיא מתבססת על מערכת ריגורוזית של אקסיומות.

האקסיומות של תורת הקבוצות

לתורת הקבוצות האקסיומטית ישנן גרסאות רבות השונות זו מזו באופן מהותי, אך המפורסמות שבהן הן שתיים: מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (ZF) - המכונה לעיתים מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל-סקולם (ZFS), ומערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל בתוספת אקסיומת הבחירה (ZFC). ארנסט צרמלו היה היוזם העיקרי של המערכת האקסיומטית המקורית ההיסטורית של תורת הקבוצות (מערכת זו מסומנת כרגיל באות Z הפותחת את שם-משפחתו); אברהם הַלֵוִי פרנקל (שהאות הראשונה של שם-משפחתו מיוצגת בשמה של המערכת המעודכנת יותר: ZF), הסיר מהמערכת המקורית של צרמלו את אקסיומת הבחירה (השנויה במחלוקת בשל אי היותה קונסטרוקטיבית), ואחר כך גם דאג לכך שאקסיומה אחרת של המערכת המקורית – אקסיומת ההפרדה – תוּמַר באקסיומה חזקה יותר (הגוררת את אקסיומת ההפרדה): אקסיומת ההחלפה; בעוד אשר תוראלף סקולם דאג לכך שלמערכת תתווסף אקסיומת היסוד (אם כי גם כיום היא לעיתים מושמטת - בהיותה מגבילה וכמעט-בלתי שימושית במקום להיות יצרנית כשאר האקסיומות).

פרט לשתי המערכות הללו, ידועה גם המערכת האקסיומטית המחליפה את אקסיומת הבחירה באקסיומה חזקה יותר (הגוררת את אקסיומת הבחירה): אקסיומת הרצף המוכללת, וכן ידועה מערכת אקסיומטית אחרת המחליפה את אקסיומת הרצף המוכללת באקסיומה חזקה עוד יותר (הגוררת את אקסיומת הרצף המוכללת ואת אקסיומת היסוד): אקסיומת הבנייה. כל המערכות הללו מבוססות (בצורה זו או אחרת) על המערכת Z, והן מתאפיינות בשתי תכונות חשובות: כל אובייקט המטופל בהן – והאוסף לתוכו אובייקטים – הוא קבוצה, ושום אובייקט המטופל בהן אינו יכול לאסוף לתוכו את כל הקבוצות. בכך שונות המערכות הללו ממערכות אחרות, כגון: המערכת NBG של ג'ון פון נוימן (שמתיחדת בכך שלא כל אובייקט המטופל בה - והאוסף לתוכו אובייקטים – הוא קבוצה, כשבכך מתאפשר למערכת הזו לקיים – למשל – אובייקט האוסף לתוכו את כל הקבוצות), והמערכות NF ו: ML שפותחו על ידי וילארד ואן אורמאן קוויין (ושמתיחדות בכך שהן מאפשרות למשל את קבוצת כל הקבוצות).

כמעט כל המערכות הידועות – להוציא את המערכת המקורית ההיסטורית Z של צרמלו – מתאפיינות בכך שכל איבר בקבוצה הוא בעצמו קבוצה. במערכות אלו, גם עצמים מתמטיים מוכּרים – כמו מספרים – נדרשים להיות מוגדרים בתור קבוצות.

להלן נדון בעיקר במערכת ZFC, בהיותה השימושית ביותר (והמקובלת ביותר) במתמטיקה.

שבע האקסיומות של ZFC רשומות להלן. במקורן נוסחו האקסיומות כמחרוזות של סמלים לוגיים בשפה לוגית נוקשה; להלן הן תוצגנה לפי משמעותן האינטואיטיבית בשפה בעברית. אקסיומת ההחלפה (כמו גם הגרסה המוחלשת שלה: אקסיומת ההפרדה) היא למעשה סכימה של אקסיומות, הכוללות אקסיומה לכל הצהרה.

  1. אקסיומת ההיקפיות: שתי קבוצות הן שוות אם ורק אם יש להן אותם אברים.
  2. אקסיומת האיחוד: לכל קבוצה קיים האיחוד שלה. כלומר, לכל קבוצה קיימת קבוצה אשר האברים שלה הם בדיוק האברים של אברי .
  3. אקסיומת הקבוצה האינסופית: קיימת קבוצה אינסופית. פורמלית: קיימת קבוצה שאינה ריקה, כך שלכל אבר ששייך אליה, גם הקבוצה שייכת אליה.
  4. אקסיומת ההחלפה: לכל קבוצה ומיפוי, המוגדר כהצהרה  ; המגדירה פונקציה, קיימת קבוצה שהאברים בה הם בדיוק תמונות האברים של הקבוצה .
  5. אקסיומת קבוצת החזקה: לכל קבוצה קיימת קבוצת החזקה שלה. כלומר, לכל קבוצה קיימת קבוצה כך שאברי הם בדיוק כל תתי-הקבוצות של .
  6. אקסיומת היסוד: כל קבוצה שאינה ריקה מכילה אבר כך ש- הן קבוצות זרות.
  7. אקסיומת הבחירה: בהינתן קבוצה של קבוצות זרות הדדית שאינן ריקות, קיימת קבוצה המכילה בדיוק אבר אחד מתוך כל אחד מאברי .

במקור, צרמלו הוסיף שלוש אקסיומות נוספות, אשר בדיעבד התברר כי הן נובעות מתוך חמש האקסיומות הראשונות הקודמות:

  • אקסיומת ההפרדה: לכל קבוצה והצהרה  ; קיימת תת-קבוצה של הקבוצה המקורית אשר מכילה בדיוק אותם האברים בקבוצה המקורית המקיימים .
  • אקסיומת הקבוצה הריקה: קיימת קבוצה ללא אברים. קבוצה זו מסומנת או . לחלופין – ניתן להגדיר את הקבוצה הריקה כאוסף האברים השונים מעצמם.
  • אקסיומת הזוג הלא-סדור: אם הן קבוצות, אז גם היא קבוצה, אשר המכילה את ואת בלבד.

אם מוסיפים למערכת ZFC את שלוש האקסיומות האחרונות הנ"ל של צרמלו, וממה שמתקבל מסירים את אקסיומת היסוד ואת אקסיומת ההחלפה (וכן מרשים שלא כל אבר שבקבוצה יהיה בעצמו קבוצה), אז מתקבלת המערכת המקורית ההיסטורית (Z) של צרמלו.

קישורים חיצוניים