אקסיומת ההחלפה

בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת ההחלפה היא סכימה של אקסיומות שמבטיחות כי תמונה של הפעלת פונקציה גדירה על קבוצה היא גם קבוצה.

הרעיון מאחורי הסכימה הוא שכל האובייקטים ה"קטנים" ביקום של תורת הקבוצות הן קבוצות ובפרט כל אובייקט שעוצמתו קטנה מקבוצה הוא קבוצה בעצמו. כיוון שב-ZFC אנחנו לא יכולים לכמת על פני אובייקטים שהם אינם קבוצות, אנחנו מגבילים את האקסיומות לאוסף כל הפונקציות אותן אנחנו יכולים להגדיר באמצעות נוסחה.

הגדרה פורמלית

נניח כי עבור קבוצה u הנוסחה $\varphi (x,y,u)$ מגדירה פונקציה על פני קבוצה v כלומר לכל איבר x של v קיים y יחיד בו מתקיים $\varphi (x,y,u)$.

במקרה הזה אקסיומת ההחלפה תטען כי התמונה של הפונקציה הזו היא גם כן קבוצה:

$\{y|\exists x\in v,\,\varphi (x,y,u)\}$

אקסיומת ההחלפה איננה אקסיומה בודדת כיוון שלא ניתן לכמת על פני הנוסחאות - זהו אוסף אינסופי רקורסיבי של אקסיומות.

היסטוריה

אקסיומת ההחלפה לא הייתה חלק ממערכת האקסיומות המקורית אותה הציע צרמלו ב-1908. מערכת האקסיומות של צרמלו, Z, הכילה את אקסיומת ההפרדה, החלשה יותר. אקסיומת ההפרדה הוספה על ידי פרנקל בשנת 1922 והמערכת האקסיומות החדשה נקראה ZF. אקסיומת ההפרדה הוצעה באופן בלתי תלוי, מאוחר יותר באותה שנה, גם על ידי סקולם.

אקסיומת ההחלפה מגדילה באופן ניכר את החוזק של ZF במובן של המשפטים אותם ZF יכולה להוכיח לעומת Z. כך למשל, ב-ZF יש מודל עבור Z - $V_{2\cdot \omega }$ (בסימונים של ההיררכיה של פון-נוימן). בנוסף, התורה Z אינה יכולה להוכיח כי המונה $\aleph _{\omega }$ קיים, בעוד שבתורה ZF ניתן להוכיח כי לכל סודר $\alpha$ קיים $\aleph _{\alpha }$.

נעיר, כי חלק משמעותי מהמתמטיקה הסטנדרטית ניתנת לפיתוח כבר בתורה Z, ללא אקסיומת ההחלפה, אך קיימות תכונות משמעותיות של קבוצות של המספרים הממשיים אותן לא ניתן להוכיח ללא אקסיומת ההחלפה. דוגמה מפתיעה היא הכריעות של קבוצות בורל - כדי להוכיח את המשפט המודל חייב להכיל את קבוצת החזקה ה-$\alpha$ של הטבעיים, לכל סודר בן-מנייה.

בתחום של תורת הקבוצות קיימות תוצאות בסיסיות בהרבה שלא ניתן להוכיח ללא אקסיומת ההחלפה. כך, למשל, לא ניתן להוכיח כי הסודר $\omega +\omega$ קיים במובן של פון-נוימן (כלומר כקבוצה שיחס הסדר שלה הוא יחס השייכות). זהו הסודר הראשון שלא ניתן להוכיח את קיומו במסגרת Z. נעיר כי ב-Z יש קבוצה סדורה היטב שטיפוס הסדר שלה הוא $\omega +\omega$ אבל לא ניתן להמיר אותה לצורה הסטנדרטית ללא שימוש באקסיומת ההחלפה.

לעומת זאת, בהינתן אקסיומת ההחלפה טיפוס הסדר של מחלקת הסודרים הוא במובן מסוים אי נשיג (למעט העובדה שהוא לא מונה)- אין שום דרך להגדיר סדרה לא חסומה של סודרים שאורכה הוא סודר, כיוון שאז באמצעות ההחלפה ואקסיומת האיחוד נוכל למצוא סודר שגדול יותר מכל הסדרה.

אקסיומות קשורות

אקסיומת האוסף היא הכללה של אקסיומת ההחלפה, בה אנחנו לא דורשים שהנוסחה תגדיר פונקציה אלא רק יחס, R, בו לכל איבר של x מתאים לפחות איבר אחד ביחס R. במקרה הזה היא מבטיחה שיש קבוצה z בה לכל איבר של x יש לפחות איבר אחד שמתאים לו ביחס R.

הצמצום של אקסיומה זו למקרים בהם בהם הנוסחה מגדירה פונקציה ייתן בדיוק את אקסיומת ההחלפה. מצד שני, ZF (ללא אקסיומת הבחירה) מוכיחה את הנכונות של אקסיומת האוסף.

אקסיומת ההפרדה היא סכימת אקסיומות שמכילה עבור כל נוסחה (עם פרמטרים) את הטענה שלכל קבוצה A קיימת קבוצה B שמורכבת בדיוק מאוסף כל האיברים של A שמקיימים את הנוסחה. אקסיומת ההפרדה נובעת מאקסיומת ההחלפה (בהנחה שקיימת קבוצה ריקה). נניח כי A קבוצה ואנחנו רוצים להראות שיש קבוצה B כך שיתקיים: $B=\{x\in A|\varphi (x,u)\}$ (עבור קבוצה u מסוימת כפרמטר). נפריד לשני מקרים:

• אם אין איבר של x שמקיים את הנוסחה, אז $B=\emptyset$, והנחנו שזו קבוצה.
• אם יש איבר כזה, z, אז נגדיר את הפונקציה שעל קלט y תחזיר את y אם הוא מקיים את הנוסחה ואחרת את z. כעת, תמונת A תחת הפונקציה שהגדרנו היא בדיוק הקבוצה הרצויה.

כיוון שאקסיומת ההפרדה נובעת מאקסיומת ההחלפה יש ספרים מודרניים בתורת הקבוצות שמשמיטים אותה מרשימת האקסיומות.

מצד שני, ניתן להחליש את אקסיומת ההחלפה, ולדרוש רק שנוכל לחסום את תמונת כל פונקציה גדירה שמופעלת על קבוצה על ידי קבוצה אחרת. באופן הזה אנחנו עדיין נדרשים לאקסיומת ההפרדה.

אקסיומת הזוג הלא סדור נובעת מאקסיומת ההחלפה, בהנחה שקיימת קבוצה כלשהי עם לפחות שני איברים שונים. נניח כי A מכילה איבר a ולפחות עוד איבר ששונה מ-a. נפעיל על A את אקסיומת ההחלפה עם הפונקציה שמעבירה את a ל-x וכל איבר שאינו a ל-y. תמונת A תחת הפונקציה הזו היא הזוג הלא-סדור {x,y}.

קיום קבוצה עם לפחות שני איברים נובעת מאקסיומת האינסוף.