אקסיומת האיחוד

בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת האיחוד היא אקסיומה שמבטיחה שאיחוד האיברים של כל קבוצה הוא קבוצה.

באופן פורמלי:

$\forall A\exists B(\forall x(\exists C\in A,\,x\in C)\iff x\in B)$

העובדה שקיים חיתוך של כל אוסף (לא ריק) של קבוצות נובע מאקסיומת ההפרדה - נבחר איבר E של אוסף הקבוצות A ונקבל:

$\bigcap _{C\in A}C=\{x\in E|\forall C\in A,\,x\in C\}$

אקסיומת האיחוד היא אקסיומה מקובלת מאד וכל מערכת אקסיומות סבירה של תורת הקבוצות מכילה אותה או גוררת את נכונותה.

דוגמאות לשימוש

אקסיומת האיחוד מאפשרת לאחד כל זוג קבוצות A,B. לפי אקסיומת הזוג הלא-סדור {A,B} היא קבוצה. הפעלת אקסיומת האיחוד על הקבוצה הזו תתן את $A\cup B$.

אם אנחנו משתמשים בקונבנציה של פון נוימן להגדרת הסודרים (סודרים הן קבוצה שסדורה קווית על ידי יחס השייכות), אז אקסיומת האיחוד, יחד עם האקסיומות שמבטיחות כי כל זוג סודרים ניתן להשוואה, מבטיחה לנו שלכל קבוצת סודרים יש חסם עליון מינימלי - שהוא האיחוד שלהם. מהסיבה הזו, אוסף כל הסודרים אינו קבוצה - אחרת היה סודר מקסימלי, בסתירה לכך שקיים לו עוקב.