אקסיומת היסוד

בתורת הקבוצות, אקסיומת היסוד היא אקסיומה במערכת ZFC, שהוצגה לראשונה על ידי ג'ון פון נוימן. האקסיומה מבטיחה שקבוצות פתולוגיות מסוימות לא קיימות, למשל שאין קבוצה שמכילה את עצמה או קבוצות דומות.

באופן פורמלי, אקסיומת היסוד היא האקסיומה הבאה:

לכל קבוצה x אם x לא ריקה אז יש איבר $y\in x$, כך שלכל $z\in x$ מתקיים $z\notin y$.

במילים אחרות, לכל קבוצה x, ליחס הסדר החלקי $\in$ שמוגדר על איברי x יש איבר מינימלי.

אקסיומת היסוד שונה מהאקסיומות האחרות של ZFC בכך שהיא מגבילה את האפשרויות לקבוצות שמופיעות במודל, בניגוד לשאר האקסיומות שמאפשרות לבנות קבוצות מתוך קבוצות קיימות.

אקסיומה זו משמשת בעיקר לטיפול בתכונות של סודרים ולאפשר הגדרות באינדוקציה על פני כל הקבוצות.

מסקנות

אין סדרת שייכות יורדת אינסופית

מאקסיומת היסוד נובע שאין סדרה אינסופית יורדת של קבוצות: $\dots x_{2}\in x_{1}\in x_{0}$.

הסיבה היא שהקבוצה $\{x_{i}|i<\omega \}$ תסתור את אקסיומת היסוד. מצד שני, בהנחת גרסה מוחלשת של אקסיומת הבחירה (אקסיומת הבחירה התלויה), גם הכיוון ההפוך נכון - מתוך כל דוגמה לקבוצה שסותרת את אקסיומת היסוד אפשר לבנות סדרת $\in$ אינסופית יורדת. במילים אחרות יחס השייכות מבוסס היטב.

נעיר כי יכולה להיות במודל של אקסיומת היסוד סדרת שייכות אינסופית יורדת, כל עוד המודל לא "מכיר" אותה. לדוגמה, אם ניקח מודל של ZFC (כולל אקסיומת היסוד), M, ונסתכל על העל חזקה שלו ביחס לעל מסנן לא ראשי על הטבעיים. המודל המתקבל יקיים את אקסיומת היסוד (כמו כל טענה מסדר ראשון), אך יש בתוכו סדרת שייכות יורדת אינסופית:

נגדיר את $x_{n}$ להיות מחלקת השקילות בעל חזקה של הפונקציה $f_{n}(k)=\max(0,k-n)$ (זהו מספר טבעי לא סטנדרטי). כעת לפי משפט Łoś כיוון שהאוסף $\{k|f_{n+1}(k)\in f_{n}(k)\}=\mathbb {N} \setminus n$ שייך לעל המסנן הטענה $x_{n+1}\in x_{n}$ מתקיימת בעל החזקה, לכל n.

זו אינה סתירה כיוון שהסדרה $\{x_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ היא לא איבר של על החזקה.

אינדוקציה על כל הקבוצות

נניח כי יש לנו טענה בשפה של תורת הקבוצות ואנחנו יכולים להוכיח שלכל קבוצה x, אם הטענה מתקיימת על כל האיברים של x אז היא מתקיימת גם על x. אז בהינתן אקסיומת היסוד - הטענה הזו מתקיימת על כל הקבוצות.

כי נניח בשלילה שיש x שלא מקיים את הטענה. על ידי הגדלת x אם יש צורך, נניח כי x סגור טרנזיטיבית, כלומר אם $z\in y\in x$ אז $z\in x$ (כאן אנחנו משתמשים באקסיומת האינסוף ובאקסיומת ההחלפה). לפי אקסיומת ההפרדה, יש תת-קבוצה y שמכילה את כל האיברים של x שאינם מקיימים את הטענה. קבוצה זו אינה ריקה (אחרת x היה מקיים את הטענה), ולכן, לפי אקסיומת היסוד, יש בה איבר מינימלי לפי יחס השייכות z. כל האיברים של z נמצאים ב-x אבל לא ב-y ולכן הם מקיימים את הטענה, ומכאן גם z מקיים את הטענה - בסתירה.

גם הכיוון ההפוך נכון - אם אקסיומת האינדוקציה על פני כל הקבוצות מתקיימת, אז גם אקסיומת היסוד מתקיימת.

סודרים

תחת אקסיומת היסוד ניתן להגדיר את הסודרים להיות בדיוק אוסף הקבוצות שאיבריהן סדורים קווית תחת יחס השייכות. האקסיומה מתרגמת במקרה הזה לכך שלכל תת-קבוצה לא ריקה יש מינימום.

הפרדוקס של ראסל

אקסיומת היסוד לא פותרת את הפרדוקס של ראסל. באופן כללי, לא ייתכן כי - למרות שאוסף מסוים של אקסיומות אינו עקבי - הוספת אקסיומה מסוימת תהפוך אותו לעקבי. ספציפית, במונחים מודרניים, הפרדוקס של ראסל מראה כי מחלקת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן, לא יכולה להיות קבוצה. מאקסיומת היסוד נובע רק שהמחלקה הזו מכילה את כל הקבוצות.

יקום פון-נוימן

אקסיומת היסוד שקולה גם לעובדה שכל הקבוצות מופיעות בבנייה האינדוקטיבית של פון-נוימן (וזה היה הניסוח המקורי של האקסיומה). הבנייה היא באינדוקציה טרנספיניטית על פני הסודרים:

• $V_{0}=\emptyset$
• $V_{\alpha +1}={\mathcal {P}}(V_{\alpha })$
• $V_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }V_{\beta }$ עבור סודר גבולי.
• $V=\bigcup _{\alpha }V_{\alpha }$ - כאשר האיחוד נעשה על פני כל הסודרים.

אקסיומת היסוד שקולה לטענה ש-V ממצה את כל הקבוצות בעולם. תחת ההנחה הזו נגדיר את הדרגה של קבוצה x להיות הסודר $\alpha$ הראשון בו $x\in V_{\alpha +1}$.

נעיר כי ניתן להגדיר את הדרגה (ולהוכיח את שקילות ההגדרות) גם באינדוקציה על פני כל הקבוצות:

$rank(x)=\sup\{rank(y)\,|\,y\in x\}$

כך, למשל, אפשר לראות את השקילות בין אקסיומת היסוד וסכימת האינדוקציה.

המחלקה V מוגדרת בכל מודל שמקיים את אקסיומת ההחלפה, אקסיומת האיחוד ואקסיומת קבוצת החזקה. לכן, גם אם אנחנו מתחילים עם מודל של ZF ללא אקסיומת היסוד, V יהיה מודל של אקסיומת היסוד (בנוסף לשאר האקסיומות של ZF). מהסיבה הזו אם ZF ללא אקסיומת היסוד עקבית אז גם אקסיומת היסוד עקבית.

המיטוט של מוסטובסקי

הלמה של מוסטובסקי טוענת כי תחת הנחות רחבות, מודלים פנימיים מבוססים היטב של שפת תורת הקבוצות איזומורפיים לקבוצות טרנזיטיביות עם יחס השייכות הסטנדרטי. למה שימושית זו מדגימה את החשיבות של הביסוס-היטב של מודלים של ZF.

הרעיון הוא שאם $(M,E)$ הוא מודל של שפת תורת הקבוצות שמקיים את אקסיומת ההיקפיות, יחס השייכות בו מבוסס היטב ולכל x בתוכו האוסף $\{y|yEx\}$ הוא קבוצה, אז ניתן להגדיר את האיזומורפיזם הבא, הנקרא מיטוט מוסטובסקי:

$\pi (x)=\{\pi (y)|yEx\}$ ויתקיים $xEy\iff \pi (x)\in \pi (y)$.

ההגדרה היא הגדרה רקורסיבית, ולכן נכונותה מתבססת על הביסוס-היטב של היחס E ב-M - הנחה חזקה יותר מהתקיימות אקסיומת היסוד ב-M, כמו שצוין לעיל.