איבר (תורת הקבוצות)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת הקבוצות, איבר הוא פריט מתוך קבוצה. קבוצה מוגדרת באמצעות האיברים השייכים אליה. כל אובייקט מתמטי יכול להיות איבר בקבוצה. נהוג להציג קבוצה באמצעות סוגריים מסולסלים, שבתוכם מפורטים כל איברי הקבוצה או כלל לפיו נוצרים כל איברי הקבוצה.

היחס היחיד הקיים בין איבר לקבוצה הוא השייכות ביניהם. כאשר איבר $\ x$ שייך לקבוצה $\ A$ נסמן זאת בצורה $x\in A$ ונאמר ש-$\ A$ כוללת את $\ x$ או ש-$\ x$ שייך ל-$\ A$, אם אינו שייך נסמן זאת $x\not \in A$. לא קיימים יחסים נוספים בין איברים לקבוצות, ולכן אין חשיבות למספר המופעים או לסדר ההופעה.

מקובל לחלק קבוצות לפי מספר איבריהן:

• קבוצה שאין בה איברים קרויה הקבוצה הריקה, שסימנה $\emptyset$.
• קבוצה שבה מספר סופי של איברים היא קבוצה סופית (גם הקבוצה הריקה היא קבוצה סופית).
• קבוצה שמספר איבריה אינו סופי היא קבוצה אינסופית.

מספר האיברים בקבוצה הוא העוצמה שלה.

בתורת הקבוצות האקסיומטית כל האובייקטים באשר הם הם קבוצות, ולכן כל איבר הוא בעצמו קבוצה.

דוגמאות

• כלב הוא איבר בקבוצה {כלב, חתול, צרצר} ולכן נסמן {כלב, חתול, צרצר} $\in$ כלב. פיל איננו איבר בקבוצה זו ולכן נסמן {כלב, חתול, צרצר} $\notin$ פיל. זוהי קבוצה סופית בעלת שלושה איברים.
• {x : x אזרח סין}: כל אזרח של סין הוא איבר בקבוצה זו. בפרט,{x אזרח סין: x} $\in$ חו ג'ינטאו. זוהי קבוצה סופית אף-על-פי שמספר איבריה גדול מאד ואינו ידוע לנו בעת ההגדרה.
• 3 הוא איבר בקבוצת כל המספרים החיוביים השלמים שהיא קבוצה אינסופית. נסמן את השיוך כך: {כל המספרים החיוביים השלמים} $\in$ 3.