אקסיומת קבוצת החזקה

בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת קבוצת החזקה היא אקסיומה במערכת ZF שמבטיחה את קיום קבוצת החזקה של כל קבוצה.

באופן פורמלי:

$\forall A\exists P(B\in P\iff \forall x(x\in B\rightarrow x\in A))$

דוגמאות לשימוש

אקסיומת קבוצת החזקה הכרחית לבניית המספרים הממשיים, בכל בנייה שנבחר עבורם. למשל, המודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle HC = H(\omega_1)} שמורכב מכל הקבוצות שהן בנות מנייה תורשתית, מקיים את כל האקסיומות של ZFC למעט אקסיומת קבוצת החזקה. לפי משפט קנטור מודל זה לא יכול להכיל שום ייצוג של המספרים הממשיים.

באופן מפתיע, גם במודל בו הממשיים מוגדרים, התכונות שלהם מושפעות מהיכולת להפעיל את אקסיומת קבוצת החזקה אינסוף פעמים.

דוגמה נוספת לשימוש באקסיומת קבוצת החזקה היא בניית המכפלה הקרטזית של זוג קבוצות: עבור זוג קבוצות X,Y, אם נשתמש בהגדרה הסטנדרטית של זוג סדור: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y) = \{\{x\},\{x,y\}\}} נקבל ש-$X\times Y\subset {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))$.

במקרה הזה השימוש באקסיומת קבוצת החזקה אינו הכרחי וניתן להמיר אותו בשימוש באקסיומת ההחלפה ובאקסיומת האיחוד: ניתן על ידי אקסיומת ההחלפה להראות כי הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X\times\{y\}} קיימת לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y \in Y} . שימוש נוסף באקסיומת ההחלפה יאפשר לאגד את כל הקבוצות האלו בקבוצה אחת, עליה נפעיל את אקסיומת האיחוד.