חיתוך (מתמטיקה)

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, החיתוך של אוסף קבוצות הוא קבוצה המכילה את כל האיברים המשותפים לקבוצות אלה, ורק אותם.

הגדרה

דיאגרמת ון של החיתוך של A ו-B

תהיינה קבוצות. החיתוך הוא הקבוצה המכילה את כל איברי השייכים גם ל- (או באופן שקול, כל איברי השייכים גם ל-), ורק אותם.

מבחינה פורמלית:

אם ורק אם וגם .

בדומה לאיחוד ולפעולות אחרות בתורת הקבוצות, אפשר להגדיר את החיתוך של משפחה כלשהי, גם אינסופית, של קבוצות.

נניח כי היא משפחת קבוצות, אזי החיתוך שלהן יסומן ומתקיים אם ורק אם לכל מתקיים .

אם קבוצת האינדקסים ריקה, אומרים שהחיתוך הוא חיתוך ריק, השווה כביכול לקבוצה האוניברסלית שכל דבר הוא איבר שלה. על-מנת להבטיח שהחיתוך יהיה קבוצה, מגדירים את החיתוך של משפחת קבוצות בתוך מרחב נתון , ואז החיתוך של משפחה ריקה שווה, כעניין שבהגדרה, למרחב כולו.

דוגמאות

  • אם אז .
  • אם ( הוא קבוצה חלקית של ) אז .
  • אם (הקבוצה הריקה) אז לכל מתקיים (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
  • אם אז .
  • בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת האיחוד:
    • בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות , אזי הקבוצה היא קבוצת כל האיברים המופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס כלשהו.
    • בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות , אזי הקבוצה היא קבוצת כל האיברים המופיעים במספר אינסופי של קבוצות.
(שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות )

קישורים חיצוניים