סדר מלא
בתורת הקבוצות, סדר מלא (או סדר ליניארי) הוא יחס סדר המאפשר להשוות כל שני איברים בקבוצה עליה הוא מוגדר, למשל ליחס $ \leq $ (קטן שווה) מעל הטבעיים, לכל $ a $ ו-$ b $ מתקיים $ a\leq b $ או $ b\leq a $. קבוצה הסדורה בסדר מלא נקראת קבוצה סדורה (או קבוצה סדורה ליניארית או שרשרת).
דוגמאות:
- היחס קטן או שווה על קבוצת המספרים הטבעיים, המסומן ב-$ \left(\mathbb {N} ,\leq \right) $, הוא סדר מלא.
- היחס קטן על קבוצת המספרים הטבעיים הוא סדר מלא חזק (כפי שיוגדר בהמשך הערך).
- על צבעי האור בקשת הצבעים ניתן להגדיר סדר מלא, לפי אורך הגל של כל צבע. לפי יחס סדר זה, סגול קטן מכחול שקטן מאדום וכו'.
המספרים הרציונליים והמספרים הממשיים הם קבוצות סדורות ליניארית צפופות.
הגדרה
יחס סדר חלקי (חלש או חזק) $ R $ נקרא יחס סדר מלא (או "יחס סדר שלם", או "יחס סדר ליניארי") אם לכל $ a\neq b $ מתקיים $ aRb $ או $ bRa $. קבוצה שמוגדר עליה יחס סדר מלא נקראת סדורה ליניארית (או "סדורה בשלמות").
פעולות בין סדרים
חיבור סדרים: החיבור של סדרים $ (P,\leq ) $ ו-$ (Q,\leq ) $ מוגדר לפי "$ P $ ואז $ Q $", כלומר הקבוצה $ P+Q=P\times \left\{0\right\}\cup Q\times \left\{1\right\} $ עם הסדר $ x,y\in P,(x,0)\leq (y,0)\iff x\leq y $, $ a,b\in Q,(a,1)\leq (b,1)\iff a\leq b $, ולכל $ a\in Q,x\in P $ מתקיים $ x\leq a $.
כפל סדרים: יהיו $ (P,\leq ) $ $ (Q,\leq ) $ סדרים אז נגדיר $ Q\times P $ עם הסדר המילוני הימני (העברי) כלומר:
$ (x_{1},x_{2})\leq (y_{1},y_{2}) $ אם מתקיים:
$ x_{2}\leq y_{2} $ או $ y_{2}=x_{2} $ וגם $ x_{1}\leq y_{1} $
הערות:
- אם $ (P,\leq ) $ $ (Q,\leq ) $ סדרים טובים אז $ P+Q $ ו-$ P\times Q $ הם סדרים טובים.
- מכיוון שפעולת החיבור ופעולת הכפל מוגדרות היטב ניתן גם לדבר על פילוג מימין: יהיו $ (M,\leq ) $ $ (P,\leq ) $ $ (Q,\leq ) $ סדרים מלאים, אז מתקיים: $ P\times (Q+M)=P\times Q+P\times M $.
- עבור סדרים סופיים פילוג משמאל מתקיים. אך עבור סדרים אינסופיים זה לא נכון.
ראו גם
| נושאים בתורת הקבוצות | ||
|---|---|---|
| מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה | |
| פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית | |
| יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי | |
| פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור | |
| משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב | |
| סדר | סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר | |
| עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף | |
| אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה | |
| שונות | הפרדוקס של ראסל • השערת הרצף | |
סדר מלא30545081Q369377