פרקטל

פְרַקטָל הוא צורה גאומטרית שככל שמגדילים אותה עדיין יש בה פרטים קטנים. דמיון בין פרטי הפרקטל ברזולוציות שונות קרוי דמיון עצמי. לדוגמה משולש שרפינסקי, מורכב משלושה העתקים מוקטנים של עצמו, וככל שמגדילים אותו כך מוצאים בתוכו עוד ועוד עותקים שלו, שהם בעצם פרטים בתוכו. לפרקטלים תכונות מתמטיות המאפיינות אותם: הממד של פרקטל אינו בהכרח מספר שלם, ההיקף של פרקטל בעל שטח סופי יכול להיות אינסופי, ועוד.

ניתן למצוא בטבע מבנים רבים דמויי פרקטלים, כגון במבנה עורקיו של עלה, כרובית, כלי הדם בגוף, הריאות של יונקים, צורת קו חוף (ראו פרדוקס קו החוף), צורת כפור או פתית שלג (ראו פתית השלג של קוך), בכולם ניתן לרדת לפרטים הקטנים ולהרגיש כאילו אנו מתבוננים עדיין בתמונה השלמה.

לפרקטלים יש גם שימוש רב בגרפיקה ממוחשבת מכיוון שהם מאפשרים ליצור בפשטות תמונות הנראות כמו יצירי טבע כגון עלים, עצים, הרים, וכו'. לפרקטלים יש תפקיד גם בכלכלה (לגרפים המתארים מחירי מניות יש תכונות פרקטליות - לכן כאשר צופים בגרף כזה קשה להבחין אם הוא מתאר מסחר במשך יום אחד, חודש, שנה, או יותר) וגם בפיזיקה ובמיוחד בתורת הכאוס.

דוגמאות לפרקטלים

פרקטלים נוצרים במתמטיקה על-פי רוב בשיטות המבוססות על רקורסיה, כלומר על חזרה על אותה פעולה מספר רב (בגבול מספר אין-סופי) של פעמים. לדוגמה ניתן ליצור את משולש שרפינסקי באופן הבא: מתחילים ממשולש שווה-צלעות, ומסירים ממנו את המשולש המרכזי, כמו שנראה באיור השני משמאל. עתה נוצרו שלושה משולשים שחורים קטנים. בשלב הבא מכל אחד מהם מסירים את המשולש האמצעי. כל שלב נקרא איטרציה ולאחר אין-סוף איטרציות נוצר משולש שרפינסקי.

דוגמה נוספת היא בניית פתית השלג של קוך. בבנייה מתחילים מקו אחד, ובכל איטרציה מחליפים את החלק האמצעי בקו, בשני קווים היוצרים פינה. ארבע האיטרציות הראשונות מתוארות באיור:

עוד שיטה רקורסיבית ליצירת פרקטלים היא על ידי העתקה וכיווץ: מתחילים מצורה מסוימת, ואז בכל שלב מעתיקים מספר עותקים מוקטנים של התמונה. את התמונה המתקבלת שוב מעתיקים באופן מוקטן, וכך ממשיכים עד אינסוף. את הפעולה המעשית של ציור פרקטל בדרך זו ניתן לבצע גם בעזרת מכונת צילום או תוכנה לעיבוד תמונה: מזינים תמונה כלשהי לתוך מכונת צילום, והמכונה מדפיסה על אותו דף שלושה עותקים מוקטנים של התמונה המקורית. עתה את התמונה המתקבלת מחזירים כקלט לתוך המכונה, וחוזרים על הפעולה הזאת אין סוף פעמים.

הפרקטל שנראה בתמונה דמוית העלה מתקבל בשיטה זאת, והוא אכן דומה מאוד לעלה.

באופן מתמטי ניתן להוכיח כי ההעתקה המכווצת של התמונה היא העתקה ליניארית במרחב האוסדורף, והפרקטל הוא נקודת השבת של ההעתקה.

דוגמה נוספת לפרקטל היא קבוצת קנטור. עקרון האיטרציה של קבוצת קנטור הוא השמטת השליש האמצעי על כל ישר שהתקבל מאלה שהיו לפניו. על כן, מתקבלות פעולות איטרטיביות אלגוריתמיות שחוזרות על עצמן ולמעשה משקפות את כל מה שהיה לפניהן.

היסטוריה

הפרקטלים הראשונים החלו להתגלות החל מסוף המאה ה-19, ונחקרו בתור קוריוזים מתמטיים, או דוגמאות נגד לרעיונות שונים. בשנת 1872 מצא המתמטיקאי קארל ויירשטראס פונקציה שהיא רציפה בכל נקודה, אך אין נקודה שהיא גזירה בה, הנקראת פונקציית ויירשטראס על שמו. במושגי ימינו פונקציה זו היא פרקטל. בשנת 1904 יצר המתמטיקאי השוודי הֶלגֵה פון קוך את פתית השלג של קוך, צורה פרקטלית מובהקת.

גאורג קנטור נתן דוגמה נוספת לקבוצה בעלת אופי פרקטלי, קבוצת קנטור. בניסיון להבין את משמעותם של עצמים מסוג זה, מתמטיקאים כקונסטנטין קרתיאודורי ופליקס האוסדורף הכלילו את מושג הממד, כך שיוכל לקבל גם ערכים שאינם מספרים טבעיים (ראו ממד האוסדורף). תנופה משמעותית לחקר הפרקטלים ניתנה בתחילת שנות השישים על ידי המתמטיקאי האמריקאי בנואה מנדלברוט, שעבד במעבדות המחקר של IBM, והתבסס על עבודתו של המתמטיקאי בן זמנו גסטון ז'וליה. בשנת 1975 טבע מנדלברוט את המונח "פרקטל" לציון עצמים הדומים לעצמם. מנדלברוט חקר סדרות של מספרים מרוכבים מהצורה $\ z_{n+1}=z_{n}^{2}+z_{0}$ . קבוצת מנדלברוט, הקרויה על-שמו, כוללת את המספרים $\ z_{0}$ שעבורם הסדרה $\ \{z_{n}\}$ חסומה.

ממדים שבריים

בדוגמאות שהובאו קודם לכן ניתן לקבל תחושה מדוע יש בעיה להגדיר מהו הממד של פרקטל. לדוגמה, בבנייה של משולש שרפינסקי התחלנו ממשולשים מלאים שהם צורות דו-ממדיות ולכן ניתן לצפות שמשולש שרפינסקי הוא דו-ממדי. מצד שני, אם היינו משרטטים רק את קווי המתאר של המשולשים, היינו מקבלים את אותה תוצאה סופית בדיוק, אלא שבמקרה זה הבנייה הייתה מסתמכת על קווים בלבד ולכן ניתן היה לצפות שמשולש שרפינסקי יהיה חד-ממדי.

בשיטת הבנייה של פתית השלג של קוך, ניתן ליצור פרקטלים כגון עקומת הילברט ועקום פאנו, שממלאים ריבוע שלם. מכיוון שהבנייה כולה מתבססת על קווים, היינו מצפים שהתוצאה תהיה חד-ממדית, איך ייתכן שמקבלים צורה דו-ממדית?

כדי להחיל את מושג הממד על צורות פרקטליות היה צורך לתת הגדרות מדויקות יותר למושג הממד, שניתן יהיה להשתמש בהם גם עבור פרקטלים.

ממד האוסדורף

ערך מורחב – ממד האוסדורף

לפי תפיסת הממד הקלאסית, כאשר שרטוט עובר קינום, חלקים בעלי N ממדים בו גדלים ביחס ישר ליחס הקינום בחזקת N. למשל, כאשר מגדילים קו חד-ממדי פי שלושה, הוא גדל פי שלושה או פי 3 בחזקת גודל הממד - 1. לעומת זאת, ישות דו-ממדית כמו ריבוע כאשר מגדילים את אורכה של הצלע פי שלושה, שטחו של הריבוע, יגדל פי תשעה או פי 3 בחזקת גודל הממד - 2. קו פרקטלי, ככל שנגדיל אותו תגלה העין, שקו שהיה נראה ישר קודם למעשה מפותל. פתית השלג של קוך כאשר מגדילים אותו פי שלושה מגלים שצלע שאמורה לגדול פי שלושה גדלה פי ארבעה, לכן הממד שלו הוא: ${\frac {\log {4}}{\log {3}}}\approx 1.262$ .

דרכים לבניית פרקטלים

שיטת מכונת הצילום: שיטה זאת נקראת גם "IFS-Iterated Function Systems". המהות של שיטה זאת היא לבצע פעולה על המישור, לדוגמה לקחת את המישור ולהכין ממנו שלושה עותקים מוקטנים ולהדביק אותם יחד, ואחר כך לחזור על הפעולה פעמים רבות. הפרקטל שמתקבל הוא נקודת השבת של הפונקציה.

שיטות החלפה: בשיטות אלו, כמו ב"פתית השלג של קוך" לדוגמה, מתחילים מצורה גאומטרית פשוטה ובכל שלב מסבכים אותה מעט. כאשר חוזרים על הפעולה אין-סוף פעמים מתקבל הפרקטל. דוגמה נוספת היא "עץ פיתגורס". שיטת ההחלפה יכולה ליצור גם פרקטלים אקראיים. לדוגמה בפתית השלג של קוך, בכל החלפה ניתן להניח את המשולש באחד משני צדי הקו. אם במקום להניח את המשולש תמיד מעל הקו, מניחים אותו באופן אקראי למעלה או למטה אזי מתקבל פרקטל אקראי.

משחק הכאוס: משחק המתבצע באופן הבא: בוחרים שלוש נקודות קבועות במישור המסומנות A,‏ B ו-C. כמו כן בוחרים נקודה כלשהי אחרת במישור, כנקודת התחלה במשחק. בכל שלב במשחק מגרילים את אחת משלוש הנקודות הקבועות, ומניחים את הנקודה הבאה בחצי המרחק שבין הנקודה בה אנו נמצאים לנקודה הקבועה שנבחרה. התוצאה של המשחק היא נקודות היוצרות את משולש שרפינסקי, כאשר הוא מתוח בין שלוש הנקודות הקבועות. בעזרת חוקים דומים ניתן ליצור מגוון עצום של פרקטלים נוספים.

אוטומט תאי: אוטומטים תאיים רבים יכולים ליצור פרקטלים. הדוגמה המוכרת ביותר היא כאשר לוקחים את משולש פסקל, שאותו ניתן לראות כאוטומט תאי חד-ממדי, וצובעים את המספרים האי-זוגיים בשחור, והזוגיים בלבן. התוצאה המתקבלת היא משולש שרפינסקי.

פרקטלים מרקורסיה של נוסחאות מרוכבות: ביניהם קבוצת מנדלברוט, קבוצת ז'וליה, פרקטל ניוטון (אנ'), וההכללה הנקראת "פרקטל נובה".

ראו גם

תורת הכאוס

לקריאה נוספת

פיל לפלנט, פרקטלמניה, הוצאת אופוס, 1995
איאן סטיוארט, תיבת האוצרות המתמטיים של פרופסור סטיוארט, כנרת זמורה-ביתן דביר, 2012, הפרק "פרקטלים – הגאומטריה של הטבע", עמ' 219–225.