פול כהן

פול כהן
Paul Cohen

אין תמונה חופשית
לידה	2 באפריל 1934
פטירה	23 במרץ 2007 (בגיל 72)
ענף מדעי	מתמטיקה
מקום מגורים	ארצות הברית
פרסים והוקרה	זכה במדליית פילדס לשנת 1966
הערות	יהודי
תרומות עיקריות
הוכחה שהשערת הרצף עצמאית במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית.

פול ג'וזף כהן (2 באפריל 1934 - 23 במרץ 2007), מתמטיקאי אמריקאי יהודי שעבודתו פורצת הדרך בלוגיקה מתמטית, ובמיוחד ההוכחה שהשערת הרצף עצמאית במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, זיכתה אותו במדליית פילדס לשנת 1966, ובפרסים חשובים אחרים. בעבודתו זו, פתר את הבעיה הראשונה מתוך 23 הבעיות של הילברט.

נולד בלונג ברנץ', ניו ג'רזי וקנה את השכלתו התיכונית בתיכון סטאיווסנט (Stuyvesant High School) בניו יורק. למד לתואר ראשון בברוקלין קולג' (1953), ולתואר שני (1954) ודוקטורט (1958, בהנחיית אנתוני זיגמונד) באוניברסיטת שיקגו. לאחר תקופה קצרה בה לימד במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס ובאוניברסיטת רוצ'סטר, עבר בראשית שנות השישים לאוניברסיטת סטנפורד, בה עשה את רוב חייו המקצועיים.

כהן ידוע בעבור המצאת שיטת הכפייה, המאפשרת לבנות מודל למערכת של אקסיומות, במסגרת מערכת אחרת. כהן השתמש בשיטה זו כדי להוכיח שהשערת הרצף ואקסיומת הבחירה אינן יכיחות מאקסיומות צרמלו-פרנקל (ZF) הסטנדרטיות של תורת הקבוצות. תוצאה זו השלימה את עבודתו המוקדמת יותר של קורט גדל, בהראותה ששתי טענות אלו הן בלתי תלויות באקסיומות צרמלו-פרנקל: לא הן ולא שלילתן יכיחות מאקסיומות אלו. במובן זה השערת הרצף (CH) אינה תלויה בשאר האקסיומות, והיא אולי הדוגמה המפורסמת ביותר לטענה עצמאית.

כהן זכה גם בפרס על שם בוכר (Bôcher) ב-1964, עבור עבודתו על השערת ליטלווד מן האנליזה המתמטית, ובמדליה הלאומית למדעים האמריקאית, ב-1968. היה חבר במכון למחקר מתקדם בפרינסטון, ובאקדמיה הלאומית למדעים של ארצות-הברית.

כהן על השערת הרצף

"השקפה, אשר המחבר [כהן] מרגיש, שתוכל להתקבל לבסוף היא שהשערת הרצף היא בבירור שגויה. הסיבה העיקרית שבגללה אנו מקבלים את אקסיומת האינסוף, היא שאנו כנראה מרגישים, שהמחשבה, שתהליך הוספה של קבוצה אחת בכל פעם עשוי למצות את היקום כולו, היא אבסורדית. כך גם עם האקסיומות הגבוהות יותר של האינסוף. כעת $\aleph _{1}$ היא עוצמת הקבוצה של סודרים בני מנייה, וזוהי רק דרך מיוחדת, והפשוטה ביותר ליצירת סודרים גדולים יותר. הקבוצה $c$ (הרצף), לעומת זאת, נוצרת על ידי עקרון חדש לחלוטין וחזק יותר, שהוא אקסיומת קבוצת החזקה. אין זה סביר לצפות שכל תיאור של מונה גדול יותר, שמנסה לבנות את המונה בעזרת רעיונות הנובעים מאקסיומת ההחלפה, יוכל אי פעם להגיע ל-$c$. ועל כן $c$ הוא גדול יותר מ-$\aleph _{n},\aleph _{\omega },\aleph _{a}$, כאשר $a=\aleph _{\omega }$, וכן הלאה. השקפה זו מתייחסת ל-$c$ כקבוצה עשירה ביותר הניתנת לנו על ידי אקסיומה נועזת אחת, ושאליה לא ניתן להתקרב על ידי תהליך בנייה בשלבים. אולי הדורות הבאים יראו את הבעיה בצורה ברורה יותר ויבטאו עצמם באופן ברור יותר."

• Cohen, P. Set Theory and the Continuum Hypothesis p.151.

קישורים חיצוניים

• ביוגרפיה של פול כהן, באתר MacTutor (באנגלית)
• גנאלוגיה מתמטית של פול כהן, באתר פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה