תת-קבוצה

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
דיאגרמת ון של קבוצה עם תת־קבוצה המוכלת בה

בתורת הקבוצות, אומרים שהקבוצה הנתונה היא תת־קבוצה של הקבוצה הנתונה [1] אם כל אבר של הקבוצה שייך גם לקבוצה . (בניסוח פורמלי: לכל מתקיים ).

את הקשר " מוכלת ב־" (או: חלקית ל־ , או: תת־קבוצה של , או: מכילה את ) מסמנים כך: , והוא מכונה יחס ההכלה.

מאפיינים

הקבוצה הריקה היא קבוצה חלקית לכל קבוצה נתונה. זאת מכיון שלא קיים בקבוצה הריקה אבר שלא נמצא בקבוצה הנתונה (הטענה נכונה באופן ריק כיון שלקבוצה הריקה אין אברים כלל).

ליחס ההכלה המאפיינים הבאים:

  • "רפלקסיביות": כל קבוצה היא תת־קבוצה של עצמה (ובמילים שקולות: כל קבוצה מוכלת בעצמה, או: כל קבוצה היא חלקית לעצמה).
  • "טרנזיטיביות": אם הקבוצה היא תת־קבוצה של הקבוצה והקבוצה היא תת־קבוצה של הקבוצה , אזי הקבוצה היא גם תת־קבוצה של הקבוצה (בניסוח פורמלי: אם וגם אז ).

אם כן, יחס ההכלה הוא יחס סדר חלקי: הוא רפלקסיבי, אנטי־סימטרי חלש וטרנזיטיבי. היחס אינו שלם: כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הישראלים, או הקבוצה והקבוצה ) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.

יחסים נוספים

באמצעות יחס ההכלה ניתן להגדיר את יחס השוויון בין קבוצות; אומרים שהקבוצה שווה לקבוצה אם ורק אם הקבוצה מכילה את הקבוצה וגם הקבוצה מכילה את הקבוצה . (בכתיב פורמלי: ).

באמצעות יחס ההכלה ויחס השוויון ניתן להגדיר יחס נוסף; כאשר הקבוצה מכילה את הקבוצה אך אינה שווה לה (יש אבר בקבוצה שהוא אינו אבר בקבוצה , ובניסוח פורמלי ), נאמר שהקבוצה מכילה ממש את הקבוצה , או במילים שקולות: הקבוצה היא חלקית ממש לקבוצה . יחס זה מסמנים . (בכתיב פורמלי: ).

הסימון עשוי להטעות: בעוד שכאן (ובמרבית הספרים והמאמרים המודרניים) מציינים הכלה ו"הכלה ממש" בהתאמה, יש ספרים שבהם משתמשים בסימונים לאותן מטרות, בהתאמה.

ראו גם

הערות שוליים

  1. או במילים שקולות: הקבוצה היא חלקית לקבוצה , או: הקבוצה מוכלת בקבוצה , או: הקבוצה מכילה את הקבוצה .
סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0