ב (מתמטיקה)

במתמטיקה, יש שימוש באות ב׳ בייצוג עוצמות אינסופיות. השימוש באות ב׳ במתמטיקה דומה לשימוש באות א' (אָלֶף אֶפֶס), אך אינו זהה (אלא בקבלת השערת הרצף המוכללת כנכונה). בניגוד לשימוש ב־$\aleph$, השימוש ב־$\beth$ לא בהכרח מכסה את כל העוצמות האינסופיות שקיימות.

הגדרה

ראשית נגדיר

$\beth _{0}=\aleph _{0}$

כלומר, $\beth _{0}$ הוא העוצמה של כל קבוצה בת מנייה אינסופית. כעת נגדיר

$\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}$

כלומר, כל $\beth _{\alpha }$ הוא העוצמה של קבוצה המהווה קבוצת חזקה של קבוצה שעוצמתה היא $\beth _{\alpha -1}$.

בצורה כזאת ניתן להתאים לכל מספר טבעי n עוצמה $\beth _{n}$. ניתן להרחיב את ההגדרה לכל מספר סודר על ידי הגדרה לסודרים גבוליים:

$\beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}$

וסודרים עוקבים כמו קודם.

לפי משפט קנטור, לכל עוצמה אינסופית יש עוצמה אינסופית גדולה יותר, ואין עוצמה אינסופית גדולה ביותר. לכן לכל $\beth _{\alpha }$ קיים $\beth _{\alpha +1}$ שגדול ממנו.

קשר לשימוש ב־ℵ׳ במתמטיקה

השערת הרצף (שלפיה עוצמת הרצף היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר שאינה בת מנייה) שקולה למשפט $\beth _{1}=\aleph _{1}$. השערת הרצף המוכללת שקולה למשפט $\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }$.

יש המסמנים את עוצמת שדה המספרים הממשיים באות $\aleph$, וכך מקבלים $\beth _{1}=\aleph$.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

35508427ב (מתמטיקה)