מכפלה קרטזית

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.



בתורת הקבוצות ובמתמטיקה בכלל, מכפלה קרטזית (Cartesian product) היא פעולה על קבוצות היוצרת מהן קבוצות חדשות שבהן יש חשיבות לסדר האיברים.

המכפלה קרויה על שם רנה דקארט (לטינית: Renatus Cartesius) שהגדיר את המישור האוקלידי כקבוצת כל הזוגות הסדורים של מספרים ממשיים – ובכך יצר את תחום הגאומטריה האנליטית.

במקרה הפרטי שבו יש שתי קבוצות , המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת (קרי כפול ) והיא קבוצת כל הזוגות הסדורים האפשריים, כשבכל זוג האיבר הראשון שייך ל- והאיבר השני שייך ל- .

[1]

למשל: אם קבוצה מכילה 13 איברים של ערכי קלפים וקבוצה מכילה 4 איברים של סוג הקלף ♠, ♥, ♦, ♣ , אזי המכפלה הקרטזית של שתי הקבוצות היא קבוצת קלפי המשחק המוכרת לנו, בעלת 52 האיברים

(♣,A,♠) , (K,♠) , ... , (2,♠) , (A,♥) , ... , (3,♣) , (2)

באותה הדרך, אם נסתכל על קבוצות, המכפלה הקרטזית שלהן תיתן קבוצה של n-יות המוגדרת כך:

בצורה פורמלית, נוכל להגדיר מכפלה קרטזית של כל משפחה (גם אינסופית) של קבוצות באמצעות קבוצת פונקציות המוגדרת כך:

כאן היא קבוצת אינדקסים (כלומר, לכל איבר בקבוצת האינדקסים מתאימה קבוצה אחת מתוך הקבוצות המוכפלות). איברי המכפלה הן פונקציות, כך שכל פונקציה מייצגת "נקודה" במכפלה. הקואורדינטות של הנקודה הן בדיוק הערכים שמחזירה הפונקציה. הדרישה על הפונקציות הללו היא שלכל קואורדינטה, הפונקציה תחזיר ערכים השייכים רק לקבוצה שאותה מייצגת הקואורדינטה.

אקסיומת הבחירה היא הקביעה שאם קבוצת אינדקסים ולכל הקבוצה לא-ריקה, אז המכפלה הקרטזית לא-ריקה.

דוגמאות

  • המרחב הוא מכפלה קרטזית של פעמים הישר הממשי . בכתיב פורמלי: (זו גם הסיבה שבגללה כותבים את בחזקת ).
כל וקטור במרחב זה הוא -יה סדורה . על פי ההגדרה הפורמלית שניתנה לעיל, כל וקטור הוא פונקציה כאשר .
עבור נקודה כלשהי במרחב, הפונקציה המתאימה לה היא זו המקיימת .
  • נביט בקבוצות כאשר . המכפלה היא קבוצת הפונקציות המקיימות .

ראו גם

הערות שוליים

  1. Warner, S: Modern Algebra, page 6. Dover Press, 1990.