משלים (מתמטיקה)

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
דיאגרמת ון של המשלים (אפור) של בקבוצת

בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב- .

זאת ביחס לקבוצה כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" – קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת-קבוצה של .

על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת והמשלים של הוא הקבוצה , ואילו החיתוך ביניהן הוא הקבוצה הריקה.

הגדרה פורמלית

תהי קבוצה, ותהי קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של ב- יוגדר כך:

סימונים מקובלים נוסף למשלים הם . עם זאת, הסימון מתנגש לעיתים עם שימושים אחרים של הסימון בקו עליון, ולכן מקובל להימנע ממנו.

דוגמה

תהי קבוצה המכילה את כל המספרים הטבעיים.

תהי קבוצה המכילה רק את המספרים הטבעיים הזוגיים. הקבוצה היא המשלים של ביחס ל- אם היא מכילה את המספרים המוכלים ב- אך לא ב- , כלומר את המספרים הטבעיים האי-זוגיים .

ניתן לראות כי החיתוך נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן יוצר את הקבוצה .

תכונות בסיסיות

– המשלים של המשלים לקבוצה הוא הקבוצה עצמה.

– חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.

– איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.

– המשלים לקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.

– המשלים לקבוצה הריקה הוא הקבוצה האוניברסלית.

כללי דה-מורגן

כללי דה-מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים":