איחוד (מתמטיקה)

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, האיחוד של אוסף קבוצות הוא קבוצה המכילה את כל האברים השייכים לקבוצות אלה, ורק אותם.

הגדרה

דיאגרמת ון לאיחוד של

תהיינה קבוצות. האיחוד הוא קבוצה המכילה את כל איברי ואת כל איברי , ורק אותם.

מבחינה פורמלית:

אם ורק אם או .

נשים לב כי במקרה זה מדובר על "או" לוגי, כלומר יכול להיות גם בשתי הקבוצות ואז יהיה באיחוד. פעולה המחזירה קבוצה המכילה איברים השייכים לאחת משתי הקבוצות אך לא לשתיהן יחד נקראת הפרש סימטרי.

אם לשתי הקבוצות אין איברים משותפים, הן מכונות קבוצות זרות, ואיחודן מכונה איחוד זר. נהוג לסמן זאת על ידי או נקודה בתוך ה- (למשל ).

באופן דומה ניתן להגדיר איחוד עבור משפחה כלשהי, גם אינסופית, של קבוצות.

נניח כי היא משפחת קבוצות, אזי האיחוד שלהן יסומן ומתקיים אם ורק אם קיים עבורו .

דוגמאות

  • אם אז .
  • אם ( הוא קבוצה חלקית של ) אז .
  • אם (הקבוצה הריקה) אז לכל מתקיים . (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
  • אם אז .
  • אם אז .
  • בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת החיתוך:
    • בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות , אז הקבוצה היא קבוצת כל האיברים המופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס כלשהו.
    • בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות , אז הקבוצה היא קבוצת כל האיברים המופיעים במספר אינסופי של קבוצות.
(שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות )

תכונות אלגבריות

איחוד הוא פעולה אסוציאטיבית (קיבוצית); כלומר . בשל כך הביטוי מוגדר היטב (כלומר, אין חשיבות לשאלה מהו הסדר בו מתבצעים האיחודים) ושווה לשתי הקבוצות הנ"ל, ולכן אין צורך כלל בסוגריים כאשר כותבים רק איחודים בין קבוצות.

באופן דומה, איחוד הוא גם פעולה קומוטטיבית (חילופית), וניתן לכתוב את הקבוצות באיחודים בכל סדר שנרצה.

הקבוצה הריקה היא איבר היחידה של פעולת האיחוד. ולכן ניתן לראות את הקבוצה הריקה כאיחוד של אפס קבוצות.

ביחד עם חיתוך והמשלים, הופך האיחוד כל קבוצת חזקה כלשהי להקבלה של אלגברה בוליאנית. לדוגמה, איחוד וחיתוך הם דיסטריבוטיביים אחד מעל השני, וכל שלוש הפעולות משולבות זו בזו בכללי דה-מורגן.

ראו גם

קישורים חיצוניים