אקסיומת ההיקפיות

בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת ההיקפיות היא אקסיומה במערכת ZF. האקסיומה גורסת כי אם לכל איבר x, הוא שייך לקבוצה הראשונה אם ורק אם הוא שייך לקבוצה השנייה, אז שתי הקבוצות שוות.

משמעות האקסיומה היא שיחס השייכות מגדיר חד משמעי את הקבוצה. בפרט, האקסיומה שוללת את קיומם של האטומים - שהם אובייקטים שונים זה מזה חסרי איברים, כיוון שהיא מבטיחה שכל אובייקט כזה יהיה שווה לקבוצה הריקה.

באופן פורמלי: $\forall A\forall B(\forall x\,x\in A\leftrightarrow x\in B)\rightarrow A=B$

אקסיומות הנובעות למושג השוויון בתחשיב הפרדיקטים מבטיחות את הכיוון השני - אם A=B אז יש להם את אותם איברים.

אקסיומת ההיקפיות יכולה להיחשב גם כהגדרה של מושג השוויון בין זוג קבוצות. במובן הזה, ניתן לעבוד בשפה שאיננה מכילה את סימן השוויון ולהגדיר אותו בהתאם לאקסיומה. במקרה הזה יש לשנות את האקסיומה: אם לכל x מתקיים x שייך ל-A אם ורק אם x שייך ל-B, אז לכל C יתקיים ש-A שייך ל-C אם ורק אם B שייך ל-C.

בכל מודל של האקסיומה הזו אמנם ייתכן שיהיו שני איברים שונים בעלי אותם איברים, אבל ההתנהגות שלהם תהיה זהה לחלוטין (הם יקיימו את אותן נוסחאות).

תורת הקבוצות עם אטומים

באופן היסטורי, תורת הקבוצות אפשרה קיום של אטומים, כלומר איברים שאינם הקבוצה הריקה ולא מכילים שום איבר. בעקבות התפתחות תורת הקבוצות, אובייקטים אלו נזנחו ואקסיומת ההיקפיות אומצה.

למרות זאת, לתורת הקבוצות עם אטומים (לעיתים מסומנת ZFA) יש שימושים. למשל, ב-ZFA קל לבנות מודלים בהם אקסיומת הבחירה נכשלת, כולל שליטה במידת הכישלון (כלומר האם גרסאות חלשות יותר של אקסיומת הבחירה או תוצאות מסוימות שלה מתקיימות או לא). מודלים אלו עמדו בבסיס הבנייה של כהן, המבוססת כפייה, של מודלים של ZF ללא אקסיומת הבחירה.

ניתן להתאים את אקסיומת ההיקפיות לתורה שמכילה אטומים בשני אופנים. אפשר להוסיף יחס חד-מקומי A, כך ש-A(x)‎ כאשר x אטום, ולהגביל את אקסיומת ההיקפיות רק לאיברים שאינם ביחס A. מצד שני, אפשר להימנע מהוספת סימן יחס, ולהגביל את אקסיומת ההיקפיות רק לקבוצות שמכילות איברים.