רשימת כתבי גאוס

כתביו של המתמטיקאי, הפיזיקאי והאסטרונום הגרמני קרל פרידריך גאוס (1777 - 1855) עוסקים במגוון רחב של תחומי מתמטיקה, אסטרונומיה ופיזיקה. מכלול הכתבים שלו, הנכלאס שלו, פורסם ב-13 כרכים.

מכלול ההתכתבות שלו פורסם במספר כרכים נוספים. להלן רשימה חלקית שלהם. פרסומים שמכילים * בסופם פורסמו לאחר מותו.

ספרים ומאמרים נבחרים

• (1799) Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse

עבודת הדוקטורט שלו, שהכילה הוכחה של המשפט היסודי של האלגברה. ההוכחה אינה שלמה, שכן גאוס מניח בה באופן לא־ריגורוזי מספר הנחות על ענפים של עקומים אלגבריים (branches of algebric curves), אולם היא טובה יותר מכל ניסיון קודם להוכחת המשפט. במרוצת חייו סיפק עוד 3 הוכחות שונות של המשפט, שבאופן כללי נחשבות לריגורוזיות.

• (Disquisitiones Arithmeticae (1801

יצירת מופת שכוננה את תורת המספרים המודרנית. ביצירה גאוס הציג לראשונה את הסימון $\equiv$ לקונגרואנציות והציג באופן שיטתי תוצאות קודמות בתורת המספרים באמצעות חשבון מודולרי,

הוכיח את משפט ההדדיות הריבועית, יצר את תורת התבניות הריבועיות (שבאמצעותה הוכיח, כתוצאה אחת מני רבות, שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של לכל היותר 3 מספרים משולשיים,

ואף קבע את מספר הדרכים שמספר כלשהו ניתן להצגה כזאת), ניסח את בעיית מספר המחלקה (Class number problem) – השערה מרחיקת לכת שהייתה לה השפעה כבירה על התפתחות המתמטיקה

ב-200 השנים הבאות, והציג את פתרון בעיית הבניה בסרגל ובמחוגה של מצולעים משוכללים.

• (Grenzen der geocentrischen orter der planeten (1804

מאמר באסטרונומיה שדן לכאורה בשאלה פרקטית – קביעת התחום השמימי שבו שביטים ואסטרואידים עשויים להופיע – ה-zodiacus.

במאמר גאוס מצביע על 3 מקרים אפשריים: (1) כאשר המרחק המינימלי של השביט גדול מהמרחק המקסימלי של כדור הארץ מהשמש, (2) ההפך, (3) כאשר מסלולי כדור הארץ והשביט שזורים (linked) זה בזה.

במקרים (1) ו-(2) גאוס מוצא את ה-zodiacus, ואילו במקרה (3) הוא כותב כי מסיבות טופולוגיות התחום השמימי הוא הספירה כולה.

• (1809) Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (תאוריה של תנועת הגופים השמימיים בחתכי חרוט סביב השמש)

עבודתו המונומנטלית השנייה של גאוס, שדנה במציאת מסלול אסטרואיד מ-3 תצפיות גאוצנטריות בלבד.

בין התוצאות בעבודה זו: המשוואות הפלנטריות של גאוס (Gauss's planetary equations), מספר נוסחאות בטריגונומטריה ספרית הנקראות Gauss's analogies, כמו גם יישום מעמיק וממצה של שיטת הריבועים הפחותים (כדי להעריך מהו מסלול האסטרואיד התואם ביותר לתצפיות, גאוס פיתח את אלגוריתם גאוס-ניוטון לביצוע רגרסיה לא לינארית של תצפיות).

עבודה זו, שנחשבת לאבן פינה באסטרונומיה חישובית, הפכה לרפרנס המרכזי של אסטרונומים במהלך עשרות השנים הבאות, ובזכותה הפכו שיטות החישוב והחיזוי האסטרונומיות למכונה יעילה.

האלגוריתמים שתיאר עדיין משמשים במחשבי החיזוי המסלולי של נאס"א.

• (Summatio serierun quarundam singularium (1811

עוסק בקביעת הסימן של סכומי גאוס ריבועיים, בעיה שהיא קשה יותר מהוכחת חוק ההדדיות הריבועית, ונעזר בתוצאה כדי לתת הוכחה רביעית של חוק זה.

• (1813) Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogenum methodos nova tractata

דן במציאת הכבידה של אליפסואיד הומוגני בכל נקודה במרחב, בעיה חשובה שהעסיקה אסטרונומים רבים מאז פרסום חוק הכבידה העולמי על ידי אייזק ניוטון ב-1687. הבעיה קשה ביותר מבחינה מתמטית

עקב העדר סימטריה בבעיה וביטוי אינטגרציה מסובכים המופיעים בפיתוח. אולם גאוס היה הראשון שהצליח לפשט את הפתרון ולהוכיח את התוצאה (הנכונה רק לחלק הפנימי של האליפסואיד):

$g_{i}=2\pi G\rho A_{i}x_{i}$ כאשר:

${\begin{aligned}A_{i}=a_{1}a_{2}a_{3}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {du}{(a_{i}^{2}+u)\Delta }}\\\Delta ^{2}=(a_{1}^{2}+u)(a_{2}^{2}+u)(a_{3}^{2}+u)\end{aligned}}$

$g_{i}$ רכיב שדה הכבידה המקביל לציר ה-$i$ של האליפסואיד, $x_{i}$ המרחק ממרכז האליפסואיד בכיוון המקביל לציר ה-$i$ שלו, $\rho$ צפיפות המסה (הקבועה) של האליפסואיד.

• (1813) Disquisitiones generales circa seriem infinitam

הדיון הסיסטמטי הראשון על טורים היפר־גאומטריים והצגת הפונקציות ההיפר־גאומטריות. גאוס הראה שרבות מהפונקציות המיוחדות המוכרות באותה עת הן מקרה פרטי של הפונקציה ההיפר־גאומטרית.

החיבור דן בקשר לשברים משולבים, בפונקציית גמא ועוד. מלבד היבטים אלה, חיבור זה פתח במובן מסוים את העידן הריגורוזי, שכן גאוס תיאר בו מעיין מודל לחקר התכנסות של טורים.

• (1814) Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi (שיטה חדשה לחישוב ערכי אינטגרלים על ידי קירוב)

חיבור על שיטות אינטגרציה חדשות. מכיל את שיטת התרבוע הגאוסית (Gaussian Quadrature).

• (1815) Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse

הוכחתו השנייה של גאוס למשפט היסודי של האלגברה. הוכחה זו מבריקה ביותר והנה אלגברית באופייה, וכמו בהישגים רבים אחרים של גאוס, ניתן לשפוך אור על המשמעות שלה רק תחת שימוש בהמשגה מתאוריות מאוחרות יותר כגון תורת גלואה. הרעיון המרכזי של ההוכחה הוא להעזר בתכונות אלגבריות של הפונקציות הסימטריות כדי לגזור משוואה דיפרנציאלית הקושרת בין הפולינום ההתחלתי והדיסקרימיננטה שלו.

רעיונו של גאוס קשור לגישה המודרנית המופשטת, בה מוכיחים את הקיום של שדה פיצול המוכל בשדה המספרים המרוכבים.

• (1816) Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen

מחקר על היעילות של אמדים סטטיסטיים.

• Determinatio attractionis, quam in punctom quodvis positionis datae exerceret planeta, si ejus massa per totam orbitam ,ratione temporis, que singulae partes describuntur, uniformiter esset dispertita (1818)

מחקר אסטרונומי יוצר מגדר הרגיל שנעשה בהשראת בעיית הפרטורבציות של פאלאס. בו הוכיח גאוס שהפרטורבציה המסלולית הנגרמת על ידי גוף מסיבי לגוף קטן שקולה לפרטורבציה שהייתה נגרמת על ידי טבעת מסה אליפטית שצפיפותה בכל נקודה פרופורציונית למסת הכוכב ויחסית הפוך למהירותו באותה נקודה. פרט לזאת גאוס קובע במאמר את המשיכה שטבעת מסה אליפטית כזאת יוצרת בכל נקודה במרחב.

• (1823) Theoria combinationis obseruationum erroribus minimis obnoxiae

ספרו המרכזי של גאוס על סטטיסטיקה מתמטית. מכיל דיון מעמיק יותר בהתפלגות הנורמלית ושיטת הריבועים הפחותים מאשר ספרו על אסטרונומיה מ-1809.

הספר מכיל גם הוכחה מלאה ראשונה של משפט מרקוב, גרסה מוקדמת של אי-שוויון צ'בישב (למעשה התוצאה של גאוס מעט חזקה יותר מאי-שוויון צ'בישב וניתן לה שם נפרד – "אי-שוויון גאוס"),

אי-שוויון גאוס-וינקלר על מומנטים מסדר רביעי של שגיאות, ומספר תוצאות עמוקות נוספות. הספר דן גם בשיטות ססטיסטיות שונות וביישומים שלהם בתחומים שונים.

• (1823) פתרון כללי לבעיה של מיפוי משטח אחד על משטח אחר כך שהשניים יהיו דומים זה לזה בחלקיהם הקטנים ביותר – מאמר שהכיל את היסודות של תורת מיפויים קונפורמיים.

גאוס חשף במאמר את הקשר העמוק בין תורת הפונקציות המרוכבות ומיפויים קונפורמיים, וגזר את משוואת בלטרמי (Beltrami equation) כדי להוכיח תוצאה מסוימת במאמר.

אף על פי שגאוס ענה במאמר על שאלה מרכזית, הוא הותיר שאלה קשה יותר ללא תשובה. ברנהרד רימן העלה את חקר השאלה הזו לרמה חדשה במסגרת יצירתו את התורה של משטחי רימן.

• (1828) Disquisitiones circa superticies curvas

יצירתו המרכזית בגאומטריה דיפרנציאלית. בין המשפטים והרעיונות החדשים בחיבור זה:

1. הצגת התבנית היסודית הראשונה והשנייה
2. עקמומיות גאוס
3. מפת גאוס
4. תאורמה אגרגיום
5. תאורמה אלגנטיסימום
6. הלמה של גאוס
7. משפטי השוואה' ביניהם משפט לז'נדר על משולשים כדוריים.
8. קואורדינטות איזותרמיות
9. הצגת המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני המגדירה עקומים גאודזיים.
10. משוואת גאוס-יעקבי.

• (1829) Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Machanik

מאמר תאורטי מאד באופייו, עוסק בניסוח מחודש של המכניקה הקלאסית באמצעות עקרון חדש בחשבון וריאציות – Gauss's principle of least constraint. העקרון דומה ברוחו לעקרון המילטון על פעולה מינימלית, שהופיע מאוחר יותר.

• (1831) Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii

עוסק בנימיות. בו גאוס דן בנוזלים במצב שיווי משקל ופותר את הבעיות המרכזיות בתחום. כמאמר מדעי חלוצי מדרגה ראשונה, גאוס גזר בו תוצאות חדשות וגזר מחדש תוצאות קודמות מנקודת מבט וריאציונית, וסיכם בו באופן שיטתי את כל התוצאות האיכותיות והמתמטיות שנצברו עד אליו, כולל משוואת יאנג-לפלס, לה הציע פיתוח שונה.

ראשית, גאוס הציג במאמר את המושג של אנרגיית שטח (surface energy) והגדיר את מתח הפנים כאנרגיה ליחידת שטח במקום ככוח ליחידת אורך כמו לפלס.

שנית, במקום לתקוף את הבעיה מנקודת המבט של קודמיו, גאוס כתב ביטוי יחיד (Gauss free energy), המייצג את אנרגיית המערכת במצב מסוים הודות למתח הפנים, האדהזיה והכבידה, שאותו הוא הביא למינימום.

פרט לחשיבותו לתאוריה הפיזיקלית גרידא המאמר הוא בעל עניין מתמטי רב, שכן הוא הציג את הפתרון הראשון לבעיה וריאציונית המערבת אינטגרלים כפולים, תנאי שפה וגבולות משתנים. גאוס חוקר בו מזווית מתמטית גם את תצורות פני הנוזל המתקבלות בכלי קיבול בעלי צורה מורכבת ולא פשוטה, את ההשפעה של החיכוך, ועוד. המאמר תרם לביסוס חוק שימור האנרגיה, במיוחד מנקודת המבט המתמטית.

• (1831) Review of Seeber

נספח מתמטי שגאוס הוסיף לספרו של לודוויג סיבר, עוסק בקריסטלוגרפיה. גאוס מצביע כאן על הקשר בין תבניות ריבועיות טרנאריות (Ternary quadratic forms) ומבנים גבישיים.

הוא נעזר ברעיונות האלה כדי לתקוף את בעיית "אריזת הכדורים האופטימלית" – השערת קפלר, ומוכיח תוצאה חשובה מוקדמת.

• (Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda (1832 (חיבור שני על שאריות דו־ריבועיות)

גאוס מציג במאמר זה את חוג השלמים של גאוס ומבסס את חשיבותו לחקר חוקי הדדיות מסדרים גבוהים. לאחר מכן הוא מנסח במאמר זה את חוק ההדדיות מסדר רביעי, ומוכיח מקרים פרטיים שלו.

ההצגה של חוג השלמים הגאוסיים והטיפול המפורט בתכונות האריתמטיות שלו הציבה את הנושא בחזית המחקר על תורת המספרים וחוקי הדדיות, ובתוך מספר שנים שחלפו מאז פרסום המאמר הופיעו הוכחות שונות של חוקי ההדדיות מסדר שלישי ורביעי, שפורסמו על ידי אייזנשטיין, יעקבי, ודיריכלה.

• (Atlas des erdmagnetisnus (1840

האטלס המגנטי הראשון של כדור הארץ. אטלס זה הוא תוצר של עשור של עבודה ניסויית ותאורטית אינטנסיבית שנעשתה בשיתוף פעולה עם וילהלם ובר. במהלך עשור זה המציאו השניים מספר דגמים של המגנטומטר הראשון, ואילו גאוס פרסם מספר מאמרים תאורטיים על השדה המגנטי של כדור הארץ, בהם, בין היתר, הצליח להצביע על המיקום המדויק של הקטבים המגנטיים של כדור הארץ משיקולים תאורטיים.

• (1840) Allgemeine Lehrsatze

מאמרו המרכזי על תורת הפוטנציאל, אותה יישם במאמרים קודמים שלו על מגנטיות ארצית. המאמר הציג את משפט גרין, משפט גאוס, משפט הערך הממוצע של גאוס, עקרון המקסימום ועקרון דיריכלה. במאמר הוא מוכיח חלק מהטענות באמצעות אנליזה הרמונית תלת ממדית. קריאתו מצריכה הבנה עמוקה של הרמוניות ספריות ופולינומי לז'נדר.

• (1840) Dioptrische Untersuchungen – חיבור קלאסי על אופטיקה, שהציג את השיטות והטרמינולוגיה של אופטיקה גאוסית.
• (Untersuchungen uber gegenstande der hoheren geodeaise (1843–1846 (מחקרים על היסודות של גאודזיה גבוהה)

מאמר שהניח את היסודות לגאודזיה גבוהה. מכיל נוסחאות מפורשות של העתקות מרוכבות הממפות את אליפסואיד הייחוס של כדור הארץ לספירה.

• acoustics* – מאמר על אקוסטיקה.
• Asymptotic laws of arithmetic* – מכיל את משפט המספרים הראשוניים והכללות שלו. כמו כן מכיל חוקים אסימפטוטיים רבים נוספים.
• Zur theory der electrodynamik*

מגדיר את מספר הקישור (linking number) ומפתח שיטה לחשבו באמצעות אינטגרל כפול מתאים (Gauss's linking integral), זאת בהקשר של בעיה אלקטרומגנטית מסוימת:

בהינתן לולאת זרם $L_{1}$ בה זורם זרם חשמלי קבוע $I$ , לחשב את העבודה הדרושה כדי להזיז מונופול מגנטי בעוצמה $m$ לאורך מסלול סגור $L_{2}$ בשדה המגנטי המופק על די לולאת הזרם.

גאוס הגיע לתגלית יוצאת דופן: אף על פי שהנוסחה אליה הגיע עשתה שימוש בגאומטריה אוקלידית בכמה אופנים, ערכה הוא למעשה אינווריאנט טופולוגי, מדד לדרגת השזירה של הלולאות $L_{1},L_{2}$ .

זו תכונה עמוקה וגאוס הביע אמונה כי לגודל ${\frac {W}{mI}}$ יש חשיבות יסודית בתאוריה הפיזיקלית. 150 שנה מאוחר יותר התברר, כפי שגאוס חשד, שלגודל אכן יש חשיבות יסודית בפיזיקה, בתורת השדות הקוונטית.

• geometria situs* – מכיל תוצאות מוקדמות בטופולוגיה ותורת הקשרים.
• Die Seitenkrummung* (עקמומיות צלעית (Side Curvature))

מכיל את התיאור המוקדם ביותר של מושג העקמומיות הגאודזית, גודל המודד כמה רחוק עקום על משטח מלהיות גאודזה של המשטח.

למעשה גאוס נותן שתי הגדרות: האחת היא ההגדרה הסטנדרטית, והשנייה היא הצגה מתמטית ארוכה ומסובכת של העקמומיות הגאודזית בתלות בתבנית היסודית הראשונה והשנייה, המראה כי העקמומיות הגאודזית היא תכונה פנימית (intristic property) של המשטח (הווה אומר, אם משרטטים עקום על משטח, ומעוותים את המשטח, העקמומיות הגאודזית בכל נקודה נשארת זהה. בפרט, עקומים גאודזיים נשארים כאלה לאחר העיוות).

מאמר זה מצביע על כך שגאוס כנראה הכיר את מלוא ההיקף של משפט גאוס-בונה (מקרה פרטי של המשפט, עבור צלעות גאודזיות, הוכח על ידו כתאורמה אלגנטיסימום) – גאוס כבר הוכיח בתאורמה אגרגיום שלו שעקמומיות גאוס היא גודל פנימי של המשטח, והעובדה שבחר להציג את העקמומיות הגאודזית דווקא בצורה מתמטית מסורבלת מעידה שעמד על חשיבות המושג כגודל פנימי משלים (בכוונה מכנה גאוס את המושג "עקמומיות צלעית") של עקמומיות גאוס, באופן אנלוגי לניסוח הפורמלי של משפט גאוס בונה.

• Arithmetisch Geometrisches mittel*

לקט של כתבים תחת הכותרת "הממוצע האריתמטי-גאומטרי". לקט זה ביחד עם מאמרים רבים נוספים, מכיל עושר אדיר של תגליות מתמטיות (שחלקן התגלו על ידי אבל ויעקבי רק כרבע מאה מאוחר יותר), ורבות מן התוצאות במאמרים אלה הן בין התוצאות של גאוס בעלות ההשפעה מרחיקת הלכת ביותר על המתמטיקה במאה ה-19 ותחילת המאה ה-20.

בין התוצאות במאמרים אלה: תוצאות חשובות על פונקציית הלמניסקטה, על הקשר בין אינטגרלים אליפטיים והממוצע האריתמטי-גאומטרי, התגלית שפונקציות אליפטיות הן באופן טבעי פונקציות כפולות-מחזור (Doubly periodic elliptic functions) יחד עם חישוב המחזורים שלהם, שפע של תגליות על פונקציות תטא, ועוד. כמה קטעים מתמטיים בכתבים אלה מראים שגאוס הכיר היטב את היסודות של התאוריה שתושלם בסופו של דבר בעבודתם של פליקס קליין ו-Fricke על תבניות מודולריות. אין זה מקרי, שכן קליין ו-Fricke היו מעורבים מאד בפרסום הכתבים של גאוס וחקרו את התוצאות של גאוס מקרוב.

• Determinatio serie nostrae per aequationem differentialem secundi ordinis*

מאמר המשך למאמרו על הטור ההיפר־גאומטרי. הפעם הוא מתחיל מהמשוואה הדיפרנציאלית המגדירה את הפונקציה ההיפר־גאומטרית, ומפתח תכונות מיוחדות של הפונקציה כגון ערכיה בנקודות מיוחדות וטרנספורמציות שונות שלה. המאמר נותן אינדיקציה מסוימת לגבי ההבנה של גאוס את רעיון ההמשכה האנליטית. כמו כן, חשיבות החקירות האלה היא גם בטכניקות השונות של אינטגרציה במישור המרוכב שמופיעות בהן.

• Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata*

מכיל את הגרסה המוקדמת ביותר של ה-FFT (התמרת פורייה מהירה). גאוס נעזר באלגוריתם זה כדי לעשות אינטרפולציה בין מסלוליהם של פאלאס ויונו.

• מאמר על לוגריתמים* – מכיל שיטה יעילה לחישוב לוגריתמים, המבוססת על הממוצע האריתמטי-גאומטרי.
• Disquisitions generales de congruentiis*

הפרק השמיני הלא-מפורסם של מחקרים אריתמטיים. בחיבור מנסה גאוס לתקוף את הבעיה של קונגרואנציות כלליות (ממעלה שרירותית), ומציג מספר כלים חזקים הדרושים כדי לגשת לבעיות מן הסוג הזה – הומומורפיזם פרובניוס, החשוב להבנת המבנה של שדות סופיים, ולמת הנזל. בחיבור גאוס נעזר בשיטות שלימים יקראו שיטות p-אדיות, אף שגאוס לא כינה אותם בשם זה. החיבור מכיל את אחת התוצאות היסודיות בתאוריה של שדות סופיים: גאוס הוכיח את האנלוג של משפט המספרים הראשוניים בעבור פולינומים מעל שדות סופיים. כמו כן החיבור מכיל מספר תוצאות חשובות נוספות.

• Lunar theory*

מכיל את התאוריה של גאוס על תנועת הירח. המשוואות היסודיות שהוא גזר דומות לאלה של קלרו וד'אלמבר, ולאלה שנגזרו מאוחר יותר על ידי לפלס, פלאנה ואחרים.

• Foundations of geometry*

מכיל את מרבית רעיונותיו על יסודות הגאומטריה ואקסיומת המקבילים בפרט. מכיל מגוון של הדגמות גאומטריות של התכונות המייחדות את הגאומטריה החדשה.

למשל, גאוס מביא הדגמה גאומטרית כי מצולע משוכלל שבונים בגאומטריה מסוימת לעולם לא ייסגר על עצמו (horocyclic polygon).

• (1819) Mutationen des Raumes [11]

מאמר קצר שבו נותן גאוס נוסחות לסיבוב הכללי של וקטור במרחב תלת־ממדי העובר דרך הראשית באמצעות מטריצות אורתוגונליות. במאמר (שיצא לאור רק ב-1900) מופיעה נוסחת הכפל לקווטרניונים.

לא ברור האם גאוס גילה כאן הקווטרניונים, כרבע מאה לפני המילטון.

• Trancendental trigonometry* - מכיל חישובים על גאומטריה לא-אוקלידית.
• Spherology* – מכיל תוצאות בטריגונומטריה ספירית.
• Die sphärische und die Nichteuklidische Geometrie*

מכיל בסיומו את משוואות הפסאודוספירה – הדוגמה הראשונה למשטח עם עקמומיות שלילית קבועה. גאוס מכנה את המשטח "הנגדי של הספירה" ומציין שיש לו עקמומיות שלילית קבועה.

מלבד זאת, יש למאמר זה חשיבות רבה במחקר ההיסטורי על התגבשות רעיונותיו של גאוס על הגאומטריה החדשה, שכן הפסאודו-ספירה מילאה בעיני גאוס את תפקיד הספירה ברדיוס מדומה.

הנוסחאות שפיתח במאמר הובילו אותו למשפט שעל הפסאודו-ספירה ניתן להזיז משולשים גאודזיים בדיוק כשם שניתן להזיזם על הספירה ^{[דרושה הבהרה]}.

• Pentagramma mirificum* – מכיל את משפט ה-Pentagramma mirificum.

התכתבויות בולטות

אנליזה מתמטית:

• במכתב לבסל מ-1811, הוא ניסח והוכיח את משפט האינטגרל של קושי.

גאומטריה לא-אוקלידית:

• מספר התכתבויות בשנים 1810–1830 מכילות תוצאות בגאומטריה היפרבולית.

אלקטרומגנטיות:

• התכתבויות בשנים 1830–1840 מכילות הכללה של חוק קולון למטענים נעים. ראו גם קרינת בלימה.

יסודות המתמטיקה:

• במספר מכתבים לגרלינג ב-1844 גאוס הביע חוסר סיפוק מהעובדה שהתהליך הידוע היחיד להוכיח שוויון נפחים של פאון כלשהו עם תמונת הראי שלו מתבסס על שיטת המיצוי, ושיער כי לא ניתן להוכיח שוויון נפחים של ארבעונים באמצעות פירוק למספר סופי של מרכיבים חופפים. זו הייתה המוטיבציה לניסוח הבעיה השלישית של הילברט.

שונות

חלק זה מוקדש לתרומות המינוריות יותר של גאוס, שכן הוא לא רק אתחל תאוריות מתמטיות גדולות, אלא היה גם המחבר של נישות קטנות רבות במתמטיקה, במיוחד בגאומטריה אלמנטרית. ביניהם:

• (1823) Das vollständige Fünfeck und seine Dreiecke – מכיל את נוסחת גאוס לחישוב שטח מחומשים, נוסחה לחישוב שטח מחומש ממדידת השטח של כל המשולשים הקודקודיים (משולשים הנוצרים על ידי 3 קודקודים עוקבים של המחומש).
• (Ein Kreis welcher drei gegebene Kreise berührt (1810 – מכיל שיטה משופרת לפתרון בעיית אפולוניוס.
• Projection des Würfels* – עוסק באקסונומטריה, תחום בגאומטריה תיאורית. גאוס מנסח ומוכיח פה את המשפט היסודי של האקסונומטריה הנורמלית (fundamental theorem of normal axonometry).
• Bestimmung der grossten ellipse* – מכתב לבסל מ-1810, בו גאוס הוכיח מקרה פרטי של Bodenmiller's theorem, משפט יסודי בגאומטריה אוקלידית מתקדמת, הקובע בין היתר כי נקודות האמצע של שלושת אלכסוניו של מרובע שלם (complete quadrilateral) נחות על ישר אחד.
• במאמר בעיתון האסטרונומי של Bode משנת 1812, גאוס פתר מספר בעיות אסטרונומיות הנוגעות לניווט בעזרת כוכבים, ביניהם הבעיות שכיום נקראות Gauss's two altitudes problem ו-Gauss's three altitudes problem. הבעיה הראשונה מבקשת, בהינתן הגובה של שני כוכבים ידועים בשמיים (זווית ההגבהה שלהם ביחס לאופק), למצוא שיטה יעילה לקבוע את המיקום הגאוגרפי של המיקום ממנו נעשתה התצפית. לפתרון בעיות אלו היה חשיבות רבה עבור ימאים.
• (1828) Beweis eines algebraischen Lehrsatzes – מאמר שנתפרסם במגזין המתמטי Crelle, עוסק באלגברה. גאוס מוכיח פה את כלל הסימנים של דקארט (Descartes's rule of signs).

היומן של גאוס

ערך מורחב – היומן של גאוס

סקירה של הספרות

הנכלאס של גאוס מכיל בנוסף גם חיבורים (בכרכים 10 ו-11) שנכתבו על ידי מתמטיקאים ופיזיקאים המתמחים בתחומים שונים בהם עסק גאוס. החיבורים הללו מסבירים ומבארים את חשיבותן של נקודות שונות בעבודתו של גאוס. עורכי הנכלאס החליטו לשלב את החומר הזה בסמוך לכתבים המקוריים. להלן סקירה שלהם.

• Paul Bachmann: Ueber Gauss's zahlentheoretische Arbeiten

עוסק ברובו בניתוח של מחקרים אריתמטיים. השאר מוקדש להשוואה של ההוכחות השונות של חוק ההדדיות הריבועית, ולעבודתו על חוקי הדדיות מסדרים גבוהים יותר. מספר עמודים מוקדשים גם לתרומותיו הספורות לתורת המספרים האנליטית, ולחוקים האסימפטוטיים שניסח. חסרונו העיקרי הוא שנכתב בתחילת המאה ה-20, ואינו משקף את ההשפעה המתמשכת שהייתה ל-Disquisitions במהלך מאה זו (למשל, על ניסוח השערות וייל).

• Ludwig Schlesinger: Ueber Gauss Arbeiten zur Funktiontheorie

עוסק בכתביו של גאוס על אנליזה ממשית ומרוכבת. הנושאים העיקריים שנידונים הם הממוצע האריתמטי-גאומטרי, פונקציות אליפטיות, הפונקציה ההיפר־גאומטרית, ומיפויים קונפורמיים.

• Alexander Ostrowski: Über den ersten und vierten GAUSSschen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra – עוסק בהוכחותיו של גאוס את המשפט היסודי של האלגברה.
• PAUL STÄCKEL: GAUSS als Geometer

עוסק בתרומותיו של גאוס בגאומטריה יסודית וטריגונומטריה ספירית. כמו כן עוסק בתרומותיו של גאוס לטופולוגיה, תחום בו הוא לא פרסם שום דבר סיסטמטי אולם עשה מספר תרומות המפוזרות במקומות שונים בכתביו. החיבור מדגים גם את הגישה הגאומטרית של גאוס לבעיות שאינן גאומטריות באופיין.

• OSKAR BOLZA: GAUSS und die Variationsrechnung

עוסק בתרומותיו של גאוס לחשבון וריאציות. הניתוח המעמיק של חיבורו של גאוס על נוזלים בשיווי משקל ראוי לציון. החיבור עומד גם על הקשר הפנימי הקיים בין הגאודזיה והגאומטריה הדיפרנציאלית של גאוס לענף חשבון הוריאציות, בפרט על הקשר בין חישוביו ותובנותיו (למשל, עבודתו על גאודזות על אליפסואיד) על מסילות גאודזיות לחשבון וריאציות.

• HARALD GEPPERT: Über GAUSS' Arbeiten zur Mechanik und Potentialtheorie

עוסק בתרומותיו למכניקה ותורת הפוטנציאל, כפי שהופיעו בכתביו ובהתכתבויות שלו. החיבור עוסק בהעמקה בעבודתו של גאוס על בעיות מכניות הקשורות בסיבוב כדור הארץ, בעקרון האילוץ המינימלי שלו (principle of least constraint), במאמר שלו על המשיכה הכבידתית של אליפסואידים הומוגוניים, ובתרומות אחרות שלו למכניקה ותורת הפוטנציאל.

• Ueber die geodetischen Arbeiten von Gauss :A. Galle – סקירה מקיפה ורבת ערך של עבודתו הגאודזית של גאוס. מכילה גם נספח על הסוגים השונים של הליוטרופ שגאוס בנה.
• Ueber Gauss physikalische Arbeiten :Clemens Schaefer

עוסק באופן מקיף בתרומותיו בפיזיקה תאורטית ופיזיקה ניסויית. הנושאים העיקריים שנידונים בו הם מגנטיות, "גלוואניזם" (כולל תיאור של הטלגרף שהמציאו גאוס וובר), אלקטרודינמיקה, ואופטיקה (התאוריה של טלסקופים, מערכות של עדשות, אברציות).

• Martin Brendel: Ueber die astronomische Arbeiten von Gauss

עוסק בעבודתו באסטרונומיה תאורטית. הנושאים החשובים הם התאוריה של גאוס על תנועת הירח, חישוב מסלולו של קרס, ותורת הפרטורבציות, כשהנושא החשוב ביותר הנידון הוא הפרטורבציות של פאלאס.

קישורים חיצוניים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

• הנכלאס של גאוס