משפט גרין

משפט גרין הוא משפט באנליזה מתמטית המגדיר קשר בין אינטגרל קווי של פונקציה על עקום סגור ופשוט לבין האינטגרל הכפול על השטח החסום על ידי העקום. משפט גרין הוא מקרה פרטי דו-ממדי של משפט סטוקס. הוא נקרא על שם המתמטיקאי האנגלי ג'ורג' גרין.

למשפט שימושים רבים במתמטיקה ובהנדסה. לדוגמה, הבסיס המתמטי לפעולת הפלנימטר, שהוא מכשיר המודד שטח של צורה מישורית כלשהי, הוא משפט גרין, או נוסחת הסקטור של לייבניץ כמקרה פרטי שלו. ממשפט גרין נובעת נוסחת השרוך.

המשפט: תהי $C$ מסילה פשוטה סגורה, מכוונת חיובית (נגד כיוון השעון) וגזירה למקוטעין החוסמת שטח ב-$\mathbb {R} ^{2}$, ונסמן ב-$D$ את השטח החסום על ידי המסילה $C$. אם $P(x,y)$ ,$Q(x,y)$ פונקציות בעלות נגזרות חלקיות רציפות עד סדר ראשון בסביבה המכילה את $D$, אזי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \oint_{C} (P\, \mathrm{d}x + Q\, \mathrm{d}y) = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}x \mathrm{d}y} .

כאשר הביטוי משמאל מגדיר אינטגרל קווי על עקום סגור (ולכן סימון העיגול על סימן האינטגרל) ומימין מבוטא האינטגרל הכפול עבור שטח התחום הסגור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} .

סימון מקובל בפיזיקה

מקרה שימושי במיוחד הוא כאשר הפונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P, Q } הן רכיבים של שדה וקטורי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec f(\vec r) = (P,Q)} . הסימון המקובל הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P=f_x, Q=f_y} . במקרה זה המשפט מקשר בין האינטגרל המשטחי על שטף הרוטור של השדה הווקטורי, לבין האינטגרל המסילתי של השדה. אם נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat n} את הווקטור הניצב למשטח, וב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec {dl}} את אלמנט המסילה המקיפה את המשטח, ניסוח המשפט יהיה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \oint_C \vec f\cdot \vec{dl}=\iint_D\left(\vec\nabla\times\vec f\right)\cdot\hat n}

בניסוח הזה, המשפט הוא כללי יותר. הוא תקף לא רק כאשר התחום $D$ מוכל במישור, אלא גם במקרה כללי שבו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} הוא יריעה חלקה דו-ממדית פשוטת קשר, והעקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} הוא שפת היריעה (שצריכה להיות גזירה למקוטעין).

שימוש לדוגמה: שדה מגנטי מסביב לתיל נושא זרם

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

זרם חשמלי מיצר שדה מגנטי.

נניח כי נתון לנו תיל ישר, אינסופי, הנושא זרם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} . הקשר בין הזרם לשדה המגנטי נתון (במקרה הסטטי) על ידי חוק אמפר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec \nabla \times \vec B = \mu _0 \vec J }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec B } הוא השדה המגנטי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec J} הוא צפיפות הזרם, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_0} הוא קבוע הפרמיאביליות של הריק. נבנה משטח מעגלי מאונך לתיל ברדיוס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} , שמרכזו נמצא על התיל (כמו קווי השדה האדומים בתמונה). נסמן את המשטח ב-$D$ ואת העקום שמקיף אותו ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} . מכיוון שהמערכת סימטרית לסיבוב סביב התיל, השדה המגנטי לאורך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} קבוע. משיקולים אחרים ניתן לקבל שכיוון השדה המגנטי משיק ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} בכל נקודה. לכן, האינטגרל המסלולי על השדה המגנטי שווה פשוט ל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \oint_C \vec B\cdot \vec dl=\int_C B=2\pi r B}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B=\left|\vec B\right| } . כעת נשתמש במשפט גרין ובחוק אמפר כדי לחשב את גודל השדה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi r B=\oint_C \vec B\cdot \vec dl=\iint_D \vec \nabla\times\vec B\cdot \hat n=\iint_D \mu_0\vec J\cdot\hat n}

לפי הגדרה, האינטגרל על צפיפות הזרם הוא הזרם, ולכן קיבלנו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi r B=\mu_0 I} , או בניסוח המקובל יותר:

$B(r)={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}$.

הוכחה עבור תחום מלבני

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

D הוא תחום החסום על ידי העקום הגזיר למקוטעין הבנוי מ: C₁, C₂, C₃, C₄

נוכיח כי מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \oint_{C} P\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}}

עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} שהוא תחום פשוט מסוג 1 - תחום חסום על ידי שני ישרים מאונכים לציר x ושתי פונקציות גזירות של x (כמתואר בתמונה).

נגדיר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_1, g_2} גזירות למקוטעין ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} . נחשב את האינטגרל הכפול ב-(1):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \iint_{D} \left(-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dxdy = \int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left(-\frac{\partial P}{\partial y} (x,y)\right)\, dy\, dx = \int_a^b \big\{-P(x,g_2(x)) + P(x,g_1(x))\, \big\} \, dx\qquad\mathrm{(2)} }

כעת נחשב את האינטגרל הקווי ב-(1): ניתן לרשום את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} כאיחוד ארבעת העקומים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_4} , $C_{3}$, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_2} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_1} .

עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_1} נשתמש בהצגה הפרמטרית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a<=x<=b} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=g_1(x)} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=x}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{C_1} P(x,y)\, dx = \int_a^b P(x,g_1(x))\, dx}

עבור $C_{3}$ נשתמש בהצגה הפרמטרית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a<=x<=b} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=g_2(x)} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=x} ולכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{C_3} P(x,y)\, dx = \int_b^a P(x,g_2(x))\, dx = - \int_a^b P(x,g_2(x))\, dx}

עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_2, C_4} , הערך של x זהה בשני גבולות האינטגרציה, ולכן

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{C_4} P(x,y)\, dx = \int_{C_2} P(x,y)\, dx = 0}

מסקנה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \oint_{C} P\, dx = \int_{C_1} P(x,y)\, dx + \int_{C_2} P(x,y)\, dx + \int_{C_3} P(x,y)\, dx + \int_{C_4} P(x,y)\, dx = \int_a^b P(x,g_1(x))\, dx - \int_a^b P(x,g_2(x))\, dx\qquad\mathrm{(3)}}

התוצאות במשוואות (3) ו-(2) זהות, ובכך קיבלנו את השוויון ב-(1).

באופן דומה ניתן להוכיח כי מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \oint_{C} Q\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(4)}}

עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} שהוא תחום פשוט מסוג 2 - חסום על ידי שני ישרים מאונכים לציר y ושתי פונקציות גזירות של y.

משילוב (1) ו-(4) מתקבל כי עבור תחום מלבני (שהוא תחום פשוט מסוג 1 וגם תחום פשוט מסוג 2) מתקיים

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \oint_{C} (P\, dx + Q\, dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(5)}}

על ידי שימוש בתכונות של אינטגרלים (אדיטיביות על תחומים זרים, והיפוך סימן בהיפוך כיוון) ניתן לראות כי המשפט תקף עבור כל שטח שניתן לחלוקה למספר סופי של תחומים מלבניים.

ראו גם

• משפט גרין דיסקרטי

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט גרין בוויקישיתוף

• משפט גרין, באתר MathWorld (באנגלית)
• פונקציות גרין, דף שער בספרייה הלאומית

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

35678027משפט גרין