קריסטלוגרפיה

קריסטלוגרפיה (מיוונית κρυσταλλος - קרוסטאלוס, קרח או חומר שקוף, המקור למילה קריסטל (גביש) + γραφειν-גרפין, לכתוב) מוגדרת כיום כמדע ניסויי העוסק בקביעת סידור האטומים במוצקים. על פי ההגדרה הקודמת קריסטלוגרפיה היא המחקר המדעי של גבישים.

בטרם פותחה הקריסטלוגרפיה המבוססת על עקיפה באמצעות קרני רנטגן (ראו בהמשך), התבסס חקר הגבישים על הגאומטריה של גבישים. השיטה כללה מדידת הזוויות של פאות הגביש יחסית לצירי ייחוס תאורטיים (צירים קריסטלוגרפיים) וקביעת הסימטריה של הגביש הנבדק. מדידת הזוויות נעשתה באמצעות גוניומטר. מיקום כל פאה במרחב התלת-ממדי משורטטת על רשת סטריאוגרפית, כדוגמת רשת וולף או רשת למברט. כל נקודה על הרשת מסומנת בערכי אינדקס מילר שלה. השרטוט הסופי מאפשר לקבוע את הסימטריה של הגביש.

שיטות קריסטלוגרפיות תלויות כיום באנליזה של תבניות עקיפה המתקבלות כאשר קרינה מסוג כלשהו מכוונת על הדגימה הנבדקת. לא תמיד הקרינה היא קרינה אלקטרומגנטית, אף על פי שהשימוש הנפוץ ביותר הוא בקרני רנטגן. למטרות מסוימות נעשה שימוש בהקרנת אלקטרונים או נייטרונים, דבר המתאפשר בשל תכונות הגל של החלקיקים. קריסטלוגרפים (אנשים שעיסוקם בקריסטלוגרפיה) נוהגים לציין לעיתים קרובות את סוג ההקרנה בה השתמשו באמצעות מונחים כדוגמת עקיפה באמצעות קרני רנטגן, עקיפה באמצעות נייטרונים ועקיפה באמצעות אלקטרונים.

שלושת סוגי קרינה אלו מגיבים עם הדגימה בדרכים שונות. קרני רנטגן פועלות על האלקטרונים בקליפת הערכיות, בעוד שאלקטרונים הם חלקיקים בעלי מטען חשמלי ולכן מושפעים מסך כל פיזור המטען החשמלי הן של גרעין האטום והן של האלקטרונים הסובבים אותו. נייטרונים מתפזרים על ידי גרעין האטום בהשפעת הכוח הגרעיני החזק, אבל בנוסף, המומנט המגנטי של נייטרונים איננו אפס. משום כך הם מתפזרים גם בהשפעת שדות מגנטיים. בשל צורות התגובה השונות, שלוש צורות הקרינה מתאימות למחקרים קריסטלוגרפיים שונים.

היסטוריה של הקריסטלוגרפיה

ערך מורחב – היסטוריה של הקריסטלוגרפיה

עד תחילת המאה ה-20

ניקולאוס סטנו הקריסטולגרף הראשון

קריסטלוגרפיה מוגדרת כיום כמדע ניסויי העוסק בקביעת סידור האטומים במוצקים. זו הגדרה מודרנית מתחילת המאה ה-20 למדע ששורשיו במאה הראשונה לספירה ועסק במחקר של גבישים טבעיים בלבד. אזכור לגבישים מופיע כבר אצל פליניוס הזקן בספרו תולדות הטבע, אבל ההתייחסות הראשונה בספרות לצורה הסדירה של הגבישים מופיעה אצל הבלגי אנסלמוס בואטיוס דה בודט (Anselmus Boetius de Boodt‏ 1632-1550), רופאו האישי של הקיסר רודולף השני, שתיעד את אוסף המינרלים ואבני החן של הקיסר. המילה קריסטל (גביש) יוחדה לקוורץ השקוף עד המאה ה-17, ואז, בהדרגה, התרחב השימוש בה וכלל גופים אחרים.

הצעד החשוב הראשון במחקר הגבישים נעשה על ידי הרופא והחוקר הדני ניקולאוס סטנו ב-1669. כשהוא מסתמך על מחקר גבישי הקוורץ גילה סטנו שאף על פי שהפאות של גבישים שונים של קוורץ שונות במידה ניכרת בצורה ובגודל היחסי, הזוויות בין צמדים של פאות מקבילות בגבישים מאותו חומר זהות בכל הדגימות של המינרל או החומר, עקרון הקרוי על שמו "חוק סטנו".

לקראת סוף המאה ה-18 חלה התקדמות ממשית בתחום. תוך שהוא מתבסס על תגליותיו של סטנו על הזוויות של הקוורץ פרסם הקריסטלוגרף הצרפתי רומה דה ל'איל בספריו "מסה על הקריסטלוגרפיה", ו"קריסטלוגרפיה, או תיאורן של הצורות הנקיות של כל הגופים בממלכת המינרלים" את תגליתו החשובה ביותר, שצורות שונות של גבישים של אותו חומר טבעי או מלאכותי קשורות בקשר הדוק האחת לשנייה. יותר מכך, על ידי מדידת הזוויות בין פאות הגבישים על ידי גוניומטר, הוא קבע את העיקרון הבסיסי שזוויות אלו זהות לאותו סוג חומר ומאפיינות אותו.

בספריו "מסה על התאוריה של מבנה הגבישים" מ-1784 ו"מסה על מינרלוגיה" מ-1801 תמך הקריסטלוגרף הצרפתי רנה ז'יסט אאיאי (René Just Haüy) ברעיונותיו של רומה דה ל'איל ואף הרחיב אותם.

בעשור השני של המאה ה-19 קיבץ הקריסטלוגרף הגרמני כריסטיאן סמואל וייס בספריו "קביעת האופי הגאומטרי העיקרי של צורות גבישיות" ו"סקירה של המחלקות הטבעיות השונות של מערכות הקריסטליזציה. רשימות האקדמיה למדעים של ברלין" את הגבישים לארבע מחלקות, בהתאם לארבע המערכות "קובייתי", "טטרגונלי", "הקסגונלי" ו"אורתורומבי" ב-1822 הוסיף אליהן המינרלוג הגרמני פרידריך מוס שתי מערכות נוספות בעלות זוויות שאינן ישרות ה"מונוקלינית" וה"טריקלינית".

בשנת 1818 מצא סר דייוויד ברוסטר שעל בסיס התכונות האופטיות ניתן לחלק את כל הגבישים לשלוש מחלקות והן: איזוטרופיים (לדוגמה מלח), חד־ציריים (לדוגמה קלציט) ודו־ציריים (לדוגמה נציץ).

כתוצאה מתבקשת מ"חוק האינדקסים היחסיים של פאות הגביש" של אאיאי הוכיח הקריסטלוגרף הגרמני יוהאן פרידריך כריסטיאן הסל (Johann Friedrich Christian Hessel‏ 1871-1796) ב-1830 שבגביש יכולים להיות שלושים ושניים מחלקות סימטריה, או בשמן כיום חבורות סימטריות נקודתיות.

ב-1848 הראה הפיזיקאי והמתמטיקאי הצרפתי אוגוסט בראבה כי בשלושת הממדים של המבנה הגבישי קיימות 14 משפחות של סריגים. ארבע-עשרה המשפחות שתיאר קרויות על שמו - "סריגי בראבה".

ב-1867 פיתח הפיזיקאי הגרמני לאונרד זונקה את מושג החבורות הסימטריות המרחביות ופירט 65 חבורות. בדיעבד התברר כי רשימת החבורות המרחביות של זונקה הייתה חלקית משום שלא לקח בחשבון אלמנטים של סימטריה. את ההשמטה גילו שני אנשים שעבדו במקביל על מחקר אותו נושא מבלי שהיו מודעים תחילה זה לעבודתו של זה. המתמטיקאי הגרמני יהודי ארתור מוריץ שנפליס והמתמטיקאי והקריסטלוגרף הרוסי יבגראף סטפאנוביץ' פיודורוב. לאחר שהתברר להם כי הם עובדים על אותו נושא החלו חילופי מכתבים ביניהם וב-1891 הם הגיעו להסכמה כי יש להוסיף עוד 165 חבורות על הרשימה של זונקה, על מנת לקבל את סך כל 230 חבורות הסימטריות המרחביות המוכרות כיום.

קריסטלוגרפיה בעזרת קרני רנטגן

מקס פון לאואה על בול של מזרח גרמניה. מימין איור של תבנית עקיפה של קרני רנטגן

ב-1912 הצליחו אסיסטנטים באוניברסיטת מינכן (LMU) ליצור תבנית עקיפה של קרני רנטגן בהקרנה על נחושת גופרתית. בעל הרעיון לניסוי היה הפיזיקאי הגרמני מקס פון לאואה שזכה עקב כך בפרס נובל לפיזיקה בשנת 1914. שנה אחר כך הצליח ויליאם לורנס בראג, פיזיקאי אנגלי יליד אוסטרליה, למצוא את הקשר בין המרחק שבין מישורי האטומים בגביש לבין הזווית שבין הכיוון המקורי של הקרניים המוקרנות לכיוונן של הקרניים המוחזרות, באמצעות נוסחה הקרויה כיום על שמו - חוק בראג ($n\lambda =2d\cdot \sin \theta \,$). תגלית זו פתחה תחום חדש לחלוטין של מחקר המבנה הפנימי של החומר, הקרוי קריסטלוגרפיה באמצעות קרני רנטגן. תגלית זיכתה את בראג בפרס נובל לפיזיקה לשנת 1915.

עם סיום מלחמת העולם הראשונה התחדש המחקר הקריסטלוגרפי באמצעות קרני רנטגן. מכיוון שהייתה זו השיטה הטובה ביותר לפענח מבנים של מולקולות, בתנאי שניתן לגבשם, צצו מרכזים למחקר בשיטה זו בגרמניה, בשווייץ, בצרפת, בארצות הברית, ובייחוד בבריטניה. השימוש בשיטה לא הוגבל יותר למחקר מבנה מינרלים. מכיוון שניתן לגבש תרכובות אי-אורגניות, ואפילו תרכובות אורגניות החל פענוח המבנה המרחבי של תרכובות אלו בשיטה זו. תהליך הפענוח השתפר בעקבות גילויים וניסוחם של סדרת כללים וחוקים פיזיקליים, ועקב המצאת שיטות שקיצרו את הזמן הנדרש לפענוח המבנה. ב-1913 ניסח המינרלוג והקריסטלוגרף הצרפתי ז'ורז' פרידל את חוק פרידל המתאר תכונה של התמרת פורייה של פונקציות ממשיות. ב-1934 הציע ארתור לינדו פטרסון תבנית המשמשת לפתרון בעיית הפאזה הקרויה פונקציית פטרסון על שמו. פאול פטר אוואלד הציע קשר בין אורך הגל זווית העקיפה והסריג ההופכי הקרוי על שמו כדור אוואלד. עד המצאת המחשב היה צריך לבצע סדרה של חישובים מסובכים והומצאו שיטות לקיצור התהליך כדוגמת רצועות ביוורס-ליפסון.

השיטה אפשרה פענוח מבנה של המינרלים הטבעיים, סייעה במטלורגיה בפענוח המבנה של מתכות, ואפשרה פענוח של המבנה המרחבי של מולקולות רבות. מעל ל-99% ממבני המולקולות המתועדים במאגר המידע המבני של קיימברידג', מאגר מידע ממוחשב המכיל, נכון ל-2010, מעל ל-400,000 מולקולות קטנות, פוענחו באמצעות עקיפה בקרני רנטגן. בנוסף, השיטה הובילה להבנה טובה יותר של מהות הקשרים הכימיים, ובאמצעותה נתגלו סוגי קשרים רבים נוספים. הקריסטלוגרפיה הייתה השיטה העיקרית לפענוח המבנה המרחבי של תרכובות אורגניות, ובאמצעותה פוענחו המבנים של חומצות אמינו וחלבונים. ההצלחה הגדולה ביותר של הקריסטלוגרפיה הייתה ב-1953 שעה שפוענח המבנה המרחבי של ה-DNA באמצעותה. הקריסטלוגרפיה שימשה גם לפענוח מבנים ביולוגיים מורכבים כדוגמת נגיפים או הריבוזום.

התפתחות הענף הובילה באופן טבעי להתאגדות בין המדענים העוסקים בענף. האיגוד הבינלאומי לקריסטלוגרפיה הוקם בשנת 1948, והוא אחראי להוצאת כתב העת Acta Crystallographica (שעם השנים הוחלט שבשל כמות המאמרים הגדולה שהגיעה למערכת יש לפצלו, ונכון ל-2010 הוא כולל שישה כתבי עת שונים), להוצאת ספרים בתחום, ליזום תקינה של שיטות, מונחים ויחידות מידה, ולארגן כנס בינלאומי המתרחש אחת ל-3 שנים במדינה אחרת.

עדות לשימוש הנרחב בשיטה אפשר לראות במספר הגדול של זוכי פרס נובל בשל תרומתם לקריסטלוגרפיה או שתגליותיהם התבססו על הקריסטלוגרפיה, נכון ל-2011 מונה אתר האיגוד הבינלאומי לקריסטלוגרפיה 40 שמות של זוכים הקשורים לתחום.

תאוריה

בדרך כלל נוהגים ליצור הדמיה של עצם קטן מאד באמצעות עדשות שבעזרתן ממקדים קרניים של האור הנראה וקבלת ההדמיה במיקרוסקופ. אורך הגל של האור הנראה (בין 4,000 ל-7,000 אנגסטרם) גדול בשלושה סדרי גודל מאורך קשר כימי טיפוסי ומהאטומים עצמם (בערך בין אחד לשני אנגסטרם). לפי כך, על מנת לקבל מידע על הגביש הנבדק חייבים להשתמש בקרינה בעלת אורך גל קצר יותר, כדוגמת קרינת רנטגן. השימוש באורכי גל קצרים אינו אפשרי במיקרוסקופ, משום שלא קיים חומר שממנו ניתן לייצר עדשות המסוגלות למקד קרינה מסוג זה. (בניגוד לטענה מקובלת זו השיגו מדענים הצלחה חלקית במיקוד קרני רנטגן בטבלת טבעות על שם פרנל (Fresnel zone plate) מצופה בזהב). שימוש בדימות מבוסס עקיפה נעשה שימוש באורכי גל קצרים מדי מכדי שניתן יהיה למקדם על מנת ליצור הדמיה, יש לשחזר את המבנה מתוך תבניות העקיפה.

גבישים הם החומר האידאלי לניתוח מבנה של מוצקים, בשל מבנם המסודר מאד והמחזורי הגורם לכך שבתבניות העקיפה שלהם מופיעים סימנים בולטים. פוטון יחיד של קרינת רנטגן העוקף עננת אלקטרון אחת לא ייצר אות חזק מספיק על מנת שציוד יוכל לחוש בו. לעומת זאת, קרני רנטגן מרובות העוקפות עננות אלקטרונים רבות, בערך באותו מיקום וכיוון יחסיים דרך הגביש, ייצרו התאבכות (בונה או הורסת) ולכן ייווצרו סימנים על תבנית העקיפה שניתן להבחין בהם, ולנתח מהם את מבנה הגביש.

צורת רישום

ערך מורחב – אינדקס מילר

• קואורדינטות בסוגריים מרובעים כדוגמת [100] מציינות כיוון (בחלל האמיתי).
• קואורדינטות בסוגריים משולשים כדוגמת <100> מציינות "משפחה" של כיוונים שווי ערך בשל פעולות סימטריות. בדוגמה שניתנה, אם היא מתייחס למערכת הקובייתית, משמעותה [100], [010], [001], או הערך השלילי של כל אחד מכיוונים אלו.
• אינדקסי מילר בסוגריים עגולים כדוגמת (100) מציינות מישור. במערכת קובייתית, האנך למישור $\ (hkl)$ הוא הכיוון $\ [hkl]$.
• אינדקסים בסוגריים מסולסלים כדוגמת {100}. מציינים משפחה של נורמלים לכמה מישורים, השקולים זה לזה ביחס לפעולה של חבורת הסימטריה, כפי שהסוגרים המשולשים מתייחסים למשפחה של כיוונים.

טכניקה

כמה מהתרכובות שנחקרו בעזרת קריסטלוגרפיה, לדוגמה, חלבון, אינן מופיעות באופן טבעי כגבישים. לכן בדרך כלל נוהגים להשרות תרכובות אלו בתמיסה על מנת לאפשר להן להתגבש במשך ימים, שבועות, או חדשים באמצעות פעפוע (דיפוזיה) של אדים. טיפת תמיסה המכילה את המולקולות אותן רוצים לחקור, ממברנה וחומר מגבש נחתמים בתוך מכל יחד עם מאגר המכיל חומר היגרוסקופי (סופח מים). המים בתמיסה מפעפעים באיטיות למאגר ובהדרגה ריכוז החומר עולה ומתאפשרת יצירת גביש. אם הריכוז היה מתגבר בקצב מהיר יותר היו המולקולות שבתמיסה מתגבשות בצורת גרגרים חסרי סדר במקום הגביש המסודר המאפשר את המחקר.

החל מהרגע שנוצר מהחומר גביש ניתן לאסוף עליו מידע בעזרת הקרנת החומר. אף על פי שלאוניברסיטאות רבות העוסקות במחקר קריסטלוגרפי יש ציוד המייצר קרני רנטגן, נעשה בדרך כלל שימוש בסינכרוטרון כמקור לקרני רנטגן משום שהוא מייצר קרניים בעלות אורכי גל קצרים יותר, אשר מאפשרות קביעת דיפרקציה של מולקולה ברזולוציה גבוהה יותר. בנוסף, הסינכרוטרון פולט קרני רנטגן בעוצמה גבוהה הרבה יותר ולכן זמן איסוף המידע מתקצר בצורה משמעותית בהשוואה לשימוש במקורות רגילים הפולטים קרינה חלשה הרבה יותר.

יצירת תדמית מתבנית עקיפה דורשת מתמטיקה מורכבת ולעיתים תהליך חוזר ונשנה של "הכנת מודל ועידונו". בתהליך זה תבניות העקיפה החזויות של מבנה המודל ההיפותטי שנבנו מתמטית מושוות לתבניות העקיפה בפועל שהופקו מדגימת הגביש. במצב האידאלי מציעים החוקרים כמה ניחושים ראשוניים שבתהליך עידון מתלכדים לאותו הפתרון. את המודלים משפרים עד שהתבניות החזויות שלהם תואמות את התבנית בפועל במידה הגדולה ביותר הניתנת ליישום מבלי לבצע תיקון רדיקלי במודל. זהו תהליך ממושך ומייגע שנעשה קל יותר כיום בעזרת השימוש במחשבים.

השיטות המתמטיות לאנליזה של המידע על העקיפה פועלות רק על "תבניות", המתקבלות רק אם הגלים עוקפים מערכים מסודרים, ולכן קריסטלוגרפיה ניתנת ליישום לרוב רק על גבישים, או מולקולות שניתן לגרום לגיבושן למטרת המדידה. למרות זאת, ניתן להסיק כמות מידע מסוימת על המולקולות בעזרת תבניות הנוצרות מסיבים ומאבקות, שאף על פי שאינם מושלמים כמו גביש מוצק מפגינים מידה מסוימת של סדר. מידת סדר זו מספיקה על מנת להסיק את המבנה של מולקולות פשוטות, או לקבוע באופן גס את המבנה של מולקולות מסובכות יותר (את מבנה הסליל הכפול של ה-DNA למשל הסיקו מתוך תבנית עקיפה של קרני רנטגן שנוצרה מדגימה סיבית).

קריסטלוגרפיה בהנדסת חומרים

קריסטלוגרפיה היא כלי שבו עושים חוקרים במדע החומרים שימוש תדיר. בגבישים בודדים קל לעיתים קרובות לראות בעין בלתי מזוינת את הסידור הגבישי של האטומים משום שהצורה הטבעית של הגבישים משקפת את המבנה האטומי. בנוסף, התכונות הפיזיות נקבעות לעיתים קרובות על ידי פגמים בגביש. הבנת מבני הגבישים הוא תנאי הכרחי חשוב להבנת פגמים קריסטלוגרפיים. לרוב, החומרים אינם מופיעים כגבישים בודדים, אלא כתצורה מרובת גבישים שבה שיטת תבניות עקיפה של אבקה משחקת את התפקיד החשוב ביותר בקביעת מבנה החומר.

כמה תכונות פיזיקליות נוספות נבדקות בעזרת קריסטלוגרפיה. לדוגמה, המינרלים בחרסית יוצרים מבנים קטנים שטוחים דמויי לוחית. ניתן לעוות חרסית משום שהחלקיקים דמויי הלוחיות יכולים להחליק אחד על גבי השני במישור של הלוחיות, ועם זאת הוא נשארים מחוברים בקשר חזק בניצב ללוחיות. ניתן לחקור מנגנונים מסוג זה בעזרת מדידות קריסטלוגרפיות של "המרקם הגבישי".

בדוגמה נוספת, כשמחממים ברזל הוא עובר התמרה ממבנה קובייה ממורכזת גוף (body-centered cubic או bcc) למבנה של קובייה ממורכזת פאה (face-centered cubic או fcc) המכונה אוסטניט. fcc הוא מבנה ארוז בצפיפות בעוד שה-bcc אינו כזה, דבר זה מסביר מדוע נפח הברזל קטן כשהתמרה כזו מתרחשת.

קריסטלוגרפיה שימושית בזיהוי מופעים, כלומר, כאשר מבצעים עיבוד כלשהו על חומר, לעיתים קרובות רצוי למצוא איזה רכיבים ואילו מופעים מצויים בחומר. לכל מופע יש סידור אופייני של אטומים. ניתן להשתמש בטכניקות כדוגמת עקיפה של קרני רנטגן על מנת לזהות תבניות הנוכחות בחומר, ומכך אילו מרכיבים מצויים בו (הערה: אין לטעות בין קביעת ה"מופעים" בתוך החומר לבין הבעיה הכללית יותר של "קביעת המופעים" המתייחסת למופע של גלים כשהם עוקפים מישורים בתוך הגביש, שהם שלב חשוב בפענוח תבניות עקיפה מסובכות).

הקריסטלוגרפיה כוללת גם את רשימת תבניות הסימטריה שיכולים להיווצר על ידי אטומים בגביש ומסיבה זו יש לה קשר לתורת הקבוצות ולגאומטריה. ראו חבורת הסימטריות.

ביולוגיה

עקיפה של קרני רנטגן היא השיטה העיקרית בקביעת המבנה המולקולרי של מקרומולקולות, בייחוד חלבונים וחומצות גרעין כגון DNA ו-RNA. למעשה מבנה הסליל הכפול של ה-DNA הוסק ממידע קריסטלוגרפי. המבנה הגבישי הראשון של מקרומולקולה פוענח ב-1958 (ג'ון קנדרו ועמיתיו), מודל תלת ממדי של מולקולת המיוגלובין שהושג בעזרת אנליזה של קרני רנטגן. בנק מידע החלבונים (Protein Data Bank או בראשי תיבות PDB) הוא מאגר חופשי של מבני החלבונים ומקרומולקולות ביולוגיות אחרות. ניתן להשתמש בתוכנה הגרפית RasMol על מנת לדמיין מבנים ביולוגיים מולקולריים.

בקריסטלוגרפיה בעזרת אלקטרונים נעשה שימוש על מנת לקבוע כמה מבני חלבונים, בייחוד חלבוני ממברנה וקפסידים נגיפיים (הקליפה החיצונית של הנגיף).

מדענים ידועים בתחום

• פרידריך מוס
• פייר קירי
• רנה ז'יסט אאיאי
• ויליאם האלוס מילר
• מקס פון לאואה
• ויליאם הנרי בראג
• ויליאם לורנס בראג
• בוריס דלאוני (Борис Николаевич Делоне)
• רוזלינד פרנקלין
• רוברט הובר (Robert Huber)
• דורותי קרופוט הודג'קין
• מקס פרוץ
• כריסטיאן בוק (Christian Bok)
• עדה יונת
• דן שכטמן

קישורים חיצוניים

• יצחק שוויקי, קביעת מבנה של חומר בעזרת קרני X, כמעט 2000 מספר 8, 1995
• מבוא לקריסטלוגרפיה ומערכות גביש במינרלים
• חוברות הדרכה קריסטלוגרפיות
• מילון למונחי קריסטלוגרפיה
• מבני סריג גבישי
• ארגון הקריסטלוגרפיה האמריקני
• Vega Science Trust ראיונות בנושא קריסטלוגרפיה דרך קרן המדע הבריטית וגה ראיונות חופשיים עם מקס פרוץ, רוברט הובר ואהרון קלוג.
• תוכנה קריסטלוגרפית חופשית עבור מוסדות אקדמאים
• רשימה של תוכנות קריסטלוגרפיות ב-NetSci
• SINCRIS Information Server for Crystallography מאגר מידע על ארגונים תוכנות ואתרים
• אתר הקריסטלוגרפיה של סטיבן ויבר האתר כולל יישומוני ג'אווה רבים
• דנה אשכנזי ונעם אליעז, על מינרלים, סריגים ואבני חן, מתוך: פיזיקהפלוס, גיליון 11, 2008
• אבי בליזובסקי, ‏שיטה מהפכנית לשקילת מולקולה בודדת, באתר "הידען", 6 במאי 2015

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0