פונקציה מחזורית

במתמטיקה, פונקציה מחזורית היא פונקציה אשר הערכים שהיא מקבלת חוזרים על עצמם כאשר מוסיפים למשתנה הבלתי תלוי שלה גורם קבוע, כלומר, $\ f(x+T)=f(x)$ לכל $\ x$ , עבור קבוע $\ T$ (שונה מאפס) מתאים. גורם קבוע זה קרוי מחזור. המחזור החיובי הקטן ביותר של הפונקציה, אם קיים, נקרא המחזור היסודי.

בין הדוגמאות הבולטות: הפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס (בעלות מחזור $\ 2\pi$ ), ופונקציית הטנגנס, שמחזורה פאי. בפונקציות מחזוריות, ממשיות בעיקר, עוסקת אנליזת פורייה.

הגדרה

פונקציה ממשית או מרוכבת $\ f$ היא מחזורית, אם קיים קבוע $\ T\neq 0$ כך שלכל $\ x$ (ממשי או מרוכב, בהתאמה), מתקיים $\,f(x)=f(x+T)$ . כל קבוע $\ T$ כזה נקרא מחזור של הפונקציה. אוסף המחזורים הוא תת חבורה של השדה (הממשי או המרוכב, בהתאמה). המקרה שבו חבורת המחזורים אינה דיסקרטית הוא מקרה פתולוגי, המתאפשר רק כאשר הפונקציה קבועה, או אינה אנליטית.

במקרה הממשי, אם חבורת המחזורים דיסקרטית אז היא ציקלית, בעלת יוצר יחיד, שהוא המחזור בעל הערך המוחלט החיובי הקטן ביותר. מספר זה הוא המחזור של הפונקציה, וכל מחזור אחר מהווה כפולה שלמה שלו. גם במקרה המרוכב ייתכן שחבורת המחזורים ציקלית, ואז משתמשים באותה טרמינולוגיה.

במקרה המרוכב יכולה חבורת המחזורים להיות בעלת שני יוצרים (למשל, כאשר הפונקציה מקיימת את הזהות $\ f(z+1)=f(z+i)=f(z)$ ). פונקציות מרוכבות בעלות שני מחזורים נקראות פונקציות אליפטיות.

באופן כללי יותר, פונקציה $\ f:G\rightarrow X$ מחבורה G לקבוצה X היא מחזורית מימין, אם קיים $\ 1\neq a\in G$ כך ש- $\ f(ga)=f(g)$ . האוסף A של מחזורים-מימין (כלומר, האיברים $\ a\in G$ המקיימים את התנאי $\ f(ga)=f(g)$ לכל g) הוא תת חבורה של G, והפונקציה $\ f$ מוגדרת על מרחב הקוסטים $\ G/A$ (לפי הנוסחה $\ f(gA)=f(g)$ ). פונקציה כזו נקראת בדרך-כלל אינווריאנטית תחת פעולת A (או A-אינווריאנטית). פונקציה שהיא אינווריאנטית גם מימין וגם משמאל נקראת דו-אינווריאנטית. בתנאים מסוימים, אוסף הפונקציות האלה מהווה אלגברת הקה.

דוגמאות

הדוגמאות המוכרות ביותר, ובמובן מסוים הטבעיות ביותר הן הפונקציות הטריגונומטריות: $\ \sin(x),\cos(x),\tan(x)$ , כאשר ל- $\ \sin(x),\cos(x)$ מחזור של $\ 2\pi$ , ול- $\ \tan(x)$ מחזור של $\ \pi$ .
פונקציית האקספוננט $\,f(z)=e^{z}$ היא פונקציה מרוכבת בעלת מחזור $\,2\pi i$ . כפונקציה ממשית, פונקציית האקספוננט אינה מחזורית (היא מונוטונית עולה).
פונקציית דיריכלה היא מחזורית, משום שלכל מספר רציונלי $\ q$ ולכל מספר ממשי $\ x$ מתקיים ש- $\ x+q$ הוא רציונלי אם ורק אם $\ x$ הוא רציונלי, ולפיכך $\,D(x+q)=D(x)$ . מכיוון שכל רציונלי $\ q$ הוא מחזור של הפונקציה, הרי שאין לפונקציית דיריכלה מחזור מינימלי.
פונקציה קבועה היא מחזורית, וכל מספר מהווה מחזור שלה.
הגל שן מסור $\ f(x)=x-[x]$ כאשר $\ [x]$ מייצג את הערך השלם של המספר היא בעלת מחזור של 1.
פונקציה מחזורית ורציפה על הישר היא רציפה במידה שווה.