פולינום סימטרי

באלגברה, פולינום בכמה משתנים הוא פולינום סימטרי, אם הוא נשאר קבוע תחת כל החלפה של המשתנים. לדוגמה, $\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ סימטרי, ואילו $\ x_{1}+x_{2}-x_{3}$ אינו סימטרי. הפולינומים הסימטריים נחקרו בתחילה בהקשר לפתרונות של משוואות פולינומיות בנעלם אחד, משום שמקדמי הפולינום הם פולינומים סימטריים בשורשים שלו. עם הזמן זכו הפולינומים הסימטריים למעמד משל עצמם, והם מופיעים בענפים שונים של המתמטיקה, בעיקר בקומבינטוריקה.

הפולינומים הסימטריים הסטנדרטיים

הפולינומים הסטנדרטיים ב-n משתנים הם $\ \sigma _{r}=\sum _{i_{1}<\cdots <i_{r}}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{r}}$ (כאשר $\ r=1,\dots ,n$ ): סכום של $\ {n \choose r}$ מונומים ממעלה r. את הפולינום $\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})$ , ששורשיו הם המספרים $x_{1},\dots ,x_{n}$ , אפשר לכתוב בצורה $\ \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma _{i}x^{n-i}$ , ומכיוון שפולינום קובע את שורשיו, נובע מכך שאוסף הפונקציות הסימטריות ב- $\ x_{1},\dots ,x_{n}$ קובע את המשתנים הללו, עד כדי סדר.

המשפט היסודי של הפולינומים הסימטריים קובע שכל פולינום סימטרי אפשר להציג (באופן יחיד) כפולינום בפולינומים הסטנדרטיים. ניוטון רמז לטענה כזו, ואחריו טיפל בכמה מקרים גם אדוארד וארינג (Meditationes Algebraicae, 1782). את המשפט הוכיח גאוס, במסגרת טיפולו במשפט היסודי של האלגברה.

מן המשפט הזה אפשר להסיק תוצאות דומות על פונקציות רציונליות סימטריות (כולן פונקציות רציונליות של הפולינומים הסטנדרטיים), ועל פונקציות סימטריות במשתנים $\ x_{i}^{\pm 1}$ (כולם פונקציות במשתנים $\ \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n},\sigma _{n}^{-1}$ ).

ב-1629 הגדיר Albert Girard את הפונקציות הסימטריות $\ s_{r}=x_{1}^{r}+\cdots +x_{n}^{r}$ . ניוטון חקר פונקציות כאלה ב-1665-1666, והציג את התוצאות שאליהן הגיע בספרו Arithmetica Universalis, 1707. ניוטון סיפק גם נוסחה רקורסיבית להצגת $\ s_{r}$ במונחי הפונקציות הסימטריות.

הדיסקרימיננטה ופולינומים כמעט סימטריים

בין הפולינומים הסימטריים, יש חשיבות מיוחדת לדיסקרימיננטה של המספרים $\ x_{1},\dots ,x_{n}$ , המוגדרת כמכפלה $\ \Delta =\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}$ . לפי ההגדרה, השורש הריבועי $\ {\sqrt {\Delta }}$ הוא פולינום במשתנים $\ x_{1},\dots ,x_{n}$ , ואילו הדיסקרימיננטה עצמה היא פולינום סימטרי, שאפשר לבטא במונחי הפולינומים הסטנדרטיים. למשל, עבור n=2 מתקיים $\ \Delta =(x_{1}-x_{2})^{2}=\sigma _{1}^{2}-4\sigma _{2}$ , ואילו עבור n=3 $\ \Delta =-4\sigma _{2}^{3}-27\sigma _{3}^{2}+\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}-4\sigma _{1}^{3}\sigma _{3}+18\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}$ . שורש הדיסקרימיננטה אינו סימטרי, משום שהוא נשאר קבוע רק תחת הפעלה של תמורה זוגית: לכל תמורה $\ \tau$ מתקיים $\ \tau ({\sqrt {\Delta }})=\operatorname {sgn}(\tau )\cdot {\sqrt {\Delta }}$ (זו הבחנה של Jacobi, 1841). היעקוביאן של הפונקציות $\ \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}$ לפי המשתנים $\ x_{1},\dots ,x_{n}$ הוא שורש הדיסקרימיננטה.