הומומורפיזם פרובניוס

באלגברה מופשטת, ובתורת גלואה הומומורפיזם פרובניוס (Frobenius endomorphism) הוא הומומורפיזם של חוגים חילופיים ממאפיין ראשוני, המעלה כל איבר בחזקת $p$. יש לו שימוש מיוחד בתורת גלואה - במקרה זה הוא אוטומורפיזם, ומהווה יוצר של חבורת הגלואה של הרחבת שדות לכל שדה סופי ממאפיין $p$.

הגדרה

יהי $R$ חוג חילופי עם יחידה ממאפיין ראשוני $p>0$. הומומורפיזם פרובניוס $\phi _{p}:R\to R$ מוגדר על ידי $\phi _{p}(a)=a^{p}$ לכל $a\in R$.

זהו הומומורפיזם, משום ש-$\phi _{p}(ab)=(ab)^{p}=a^{p}b^{p}=\phi _{p}(a)(b)$ (כי החוג חילופי), ו- $\phi _{p}(a+b)=(a+b)^{p}=\sum _{i=0}^{p}{{p \choose i}a^{i}b^{p-i}}=a^{p}+b^{p}=\phi _{p}(a)+\phi _{p}(b)$ לפי הבינום של ניוטון. כאשר $R$ תחום שלמות (או תחום ללא נילפוטנטים) הוא גם חד חד ערכי, משום ש-$a^{p}=0$ גורר ש-$a=0$.

לכן, כאשר מדברים על שדות סופיים ממאפיין ראשוני, זהו בהכרח אוטומורפיזם, משום שזו העתקה חח"ע בין קבוצות שוות עוצמה. באופן כללי, שדה ממאפיין חיובי הוא מושלם אם ורק אם הומומורפיזם פרובניוס שלו הוא אוטומורפיזם. כאמור, כל שדה סופי הוא מושלם, ומאידך שדה הפונקציות במשתנה אחד $\mathbb {Z} _{p}(t)$ איננו מושלם - הומומורפיזם פרובניוס איננו על.

בתורת גלואה

שדות סופיים

ערך מורחב – שדה סופי

נסתכל בשדה הבסיסי $\mathbb {F} _{p}=\left(\{0,1,...,p-1\},+,\cdot ,{\bmod {p}}\right)$ עם פעולות חיבור וכפל מודולו p, באשר p מספר ראשוני. נניח ש-$F/\mathbb {F} _{p}$ הרחבת שדות מממד סופי $t$. במקרה זה הומומורפיזם פרובניוס הוא אוטומורפיזם, השומר על איברי $\mathbb {F} _{p}$, לפי המשפט הקטן של פרמה. לכן, הוא שייך לחבורת גלואה $\operatorname {Gal} (F/\mathbb {F} _{p})$. יותר מכך, מתקיים:

משפט: הסדר של אוטומורפיזם פרובניוס הוא $O(\phi _{p})=t=[F:\mathbb {F} _{p}]=|\operatorname {Gal} (F/\mathbb {F} _{p})|$.

לכן, מכך שמדובר בהרחבת גלואה וממד ההרחבה הוא $t$, גם גודל החבורה הוא $t$, ויחד עם המשפט נקבל שהיא ציקלית: $\operatorname {Gal} (F/\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} /t\mathbb {Z}$. בפרט, לפי המשפט היסודי של תורת גלואה נובע ששדה השבת שלו הוא בדיוק $\mathbb {F} _{p}$.

בממד אינסופי

כאשר ההרחבה היא מממד סופי, אוטומורפיזם פרובניוס גם הוא בעל סדר אינסופי. בכל זאת, למשל במקרה של חבורת גלואה האבסולוטית $\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {F} _{p}}}/\mathbb {F} _{p})$, הוא איננו יוצר את החבורה - החבורה ודאי לא ציקלית; היא יותר מסובכת. לפי תכונות של גבול הפוך, היות שהוא יוצר כל הרחבה סופית, הוא יוצר כל מנה מאינדקס סופי שלה.

ראו גם

• שדה סופי
• איבר פרובניוס