תאוריה של תנועת הגופים השמימיים בחתכי חרוט סביב השמש

עמוד השער של ה-Theoria motus.

ספרו של המתמטיקאי והאסטרונום קרל פרידריך גאוס "תאוריה של תנועת הגופים השמימיים בחתכי חרוט סביב השמש" (לטינית: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum), שפורסם ב-1809, עוסק בקביעת מסלולם של גרמי שמיים (אסטרואידים, שביטים וכו') ממספר מינימלי של תצפיות גאוצנטריות. את השיטות של הספר גאוס פיתח כבר ב-1801 במסגרת החישוב המוצלח של מסלולו של קרס, שהקנה לו תהילה ופרסום רב בקרב הקהילה המדעית. בספר גאוס מפתח את האלגוריתם היעיל הראשון לחיזוי מסלול של עצם שמיימי משלוש תצפיות, והוא מפורסם בשל האינטגרציה של שיטות מתמטיות שונות בו; שיטות סטטיסטיות (כולל ההצגה של "שיטת הריבועים הפחותים") לעידון איטרטיבי של המסלול המחושב, גאומטריות (בעיקר מטריגונומטריה כדורית) ואסטרונומיות שונות.

הקשר היסטורי

ה-Theoria motus הוא ההצגה השיטתית הראשונה של השיטות של גאוס לחישוב מסלולם של עצמים שמימיים, כפי שהן נגזרות ישירות מחוקי קפלר לתנועה פלנטרית. הספר הוא שיטתי ודידקטי מאד באופיו - הוא מורכב משני ספרים, מתוכם הראשון עוסק בנושאים מקדימים ואילו השני מציג את הפתרון של הבעיה הכללית של הספר.

עד לזמנו של גאוס, אסטרונומים השתמשו בשיטות אד הוק שהשתנו ממקרה למקרה, זאת על אף העובדה שהבסיס התאורטי לחיזוי מסלולי היה ידוע ומובן כבר יותר מ-100 שנים. התרומה המהותית של גאוס נעוצה ביכולתו לפשט את הביטויים אלגבריים הסבוכים ולהפוך את שיטות החיזוי כולן לנגישות ויעילות יותר. שלא כמו קודמיו (כולל ניוטון, אשר פתר את הבעיה ממספר רב יותר של תצפיות ותוך שימוש בשיטות גאומטריות), גאוס לא הניח מראש איזה מחתכי החרוט מתאר המסלול של העצם הנצפה. לפני גאוס, היה זה לפלס שהתקרב יותר מכולם לפתרון הבעיה הכללית, אך המשוואות שלו היו כה סבוכות שאיש לא קיווה לגזור מהן תוצאות מספריות.

מאוחר יותר לחישוב מסלולו של קרס (אך עוד בטרם פרסום הספר), גאוס נעזר בשיטות דומות כדי לסייע באיתור כל שלושת האסטרואידים הבאים שנתגלו: פאלאס, יונו, ווסטה. ההצלחה החוזרת ונשנית הדגימה את יכולות השיטה שלו. מסלולו של פאלאס היה קשה בהרבה לחישוב, בשל העובדה שהוא חולף בסמוך לצדק ולכן חווה פרטורבציות משמעותיות, כמו גם בשל האקסצנטריות והנטייה המסלולית הגבוהה שלו, שרק הקשו על חישוב הפרטורבציה שלו (נושא מסלולו של פאלאס היווה מושא לכמה מאמרים נוספים). אף על פי כן, בעזרת השיטות שתיאר בספרו גאוס היה מסוגל לחשב בדיוק סביר את מסלוליהם של האסטרואידים הראשונים שנתגלו, כמו גם להיות המגלה הראשון של תופעת התהודה המסלולית בחגורת האסטרואידים.

מסיבות אלו הפך הספר Theoria motus לטקסט קלאסי באסטרונומיה בכמה העשורים שלאחר פרסומו, ולרפרנס המרכזי עבור האסטרונומים בעשורים הללו.

נספח ה- "Summarische Ubersicht"

בנספח מתמטי שגאוס הוסיף ל- Theoria motus, הוא מתאר את שיטות החישוב המסלולי המוקדמות ביותר שלו, אשר שימשו אותו בחישוב מסלולו של קרס. אף שגאוס לא עושה שימוש כלל במטריצות בחיבור, המאמר כשלעצמו נחשב להולדת האלגברה הלינארית. במאמר גאוס עושה שימוש רב בדטרמיננטות, וזה ראוי לציון שחלק ניכר מהתאוריה המודרנית של דטרמיננטות פותח אחרי שהמאמר של גאוס הופיע.

תוכני הספר

תיאור הבעיה

בעיית החיזוי המסלולי דורשת לחשב מסלול של גרם שמיים משלוש תצפיות גאוצנטריות, כאשר כל תצפית מניבה מידע על מיקומו של העצם על כיפת השמיים, כלומר מניבה קו אורך וקו רוחב במערכת הקואורדינטות האקליפטית, זאת בעוד המרחק אל העצם השמיימי אינו ניתן למדידה ישירה. 3 תצפיות גאוצנטריות מספקות 3 זוגות קואורדינטות, ולפיכך מניבות שישה פרמטרים בלתי תלויים, המספיקים כדי לקבוע את ששת אלמנטי המסלול של העצם.

הפתרון שמציג גאוס לבעיה של חיזוי מסלולי מורכב משני שלבים, כאשר הספר הראשון ותחילת הספר השני מוקדשים לשלב הראשון. השלב הראשון נקרא חישוב מסלול ראשוני (Preliminary orbit calculation) והינו דטרמיניסטי באופיו - בשלב זה מניחים שגיאות מדידה אפסיות כך שכביכול כל אחת מהתצפיות מניבות מידע בעל דיוק מושלם. שלב זה הינו סבוך מאד ומצריך צעדים חישוביים רבים והתחשבות בגורמים רבים (שגאוס לוקח בחשבון בספר הראשון ותחילת הספר השני) כגון: השפעת התנועה של כדור הארץ עצמו במסלולו סביב השמש על תוצאות המדידות הגאוצנטריות, השפעת מיקום הצופה על כדור הארץ, סיבוב כדור סביב צירו ועוד. הפתרון לבעיה הזאת הצריך טיפול מקיף ומעמיק ביסודות האסטרונומיה.

השלב השני נקרא עידון המסלול (Orbit refinement), ומשמעותו היא חישוב המסלול הסביר ביותר בהתאם לתצפיות. בשלב זה מזהים את גורמי השגיאה ומעריכים את גודל השגיאה בכל אחת מהתצפיות, ו-"מעדנים" את המסלול באמצעות אלגוריתם איטרטיבי, עד לקבלת ה-"אזור" בעל צפיפות ההסתברות הגבוהה ביותר. במסגרת האלגוריתם חושף לראשונה את "שיטת הריבועים הפחותים" שהמציא, העומדת ביסוד הטיפול שלו בשגיאות. גאוס מראה לא רק איך לעדן את המסלול בהתבסס על 3 תצפיות בלבד, אלא גם איך "לעדכן" את המודל בהתאם לתצפיות חדשות בצורה הטובה ביותר, כלומר איך לשנות את החישוב לאחר שנצברו יותר משלוש תצפיות.

ספר ראשון

ששת האלמנטים של מסלול קפלרי מוצגים באיור.

ארבעת החלקים של הספר הראשון של ה-Theoria motus דנים בקשרים המתמטיים בן הפרמטרים השונים שמתארים את תנועתו של גרם שמיימי סביב השמש.

חלקים 1 ו-2 מרכיבים יחדיו הקדמה שיטתית לבעיה, ומכילים את רוב ההגדרות הנדרשות. גאוס מתחיל מהגדרות של מושגים אלמנטריים כמו מישור המילקה, nodes (נקודות בהן מישור התנועה של גרם השמיים חותך את מישור המילקה), וששת האלמנטים של מסלול קפלרי:

• האקסצנטריות e של המסלול האליפטי.
• חצי הציר הראשי a של המסלול (Semimajor axis).
• הנטייה המסלולית (Inclination) שלו i בהשוואה למישור המילקה.
• האזימוט Ω של נקודת ה-node העולה (Longitude of the ascending node).
• זווית הפריאפסיס (Argument of periapsis) שלו ω אשר מגדירה את האוריינטציה של המסלול האליפטי במישור המסלולי.
• האנומליה האמיתית (True anomaly) של העצם השמיימי (מסומנת v) - פרמטר זמני שמגדיר את מיקומו המדויק של העצם על מסלולו בזמן ייחוס מסוים.

בחלק הראשון, גאוס מפתח את הקשרים הטריגונומטריים בין האלמנטים השונים, ומציע אף קריטריונים לזהות מתצפיות את חתכי החרוט השונים. הבעיה שניצבה בפני גאוס הייתה מורכבת ממה שנראה במבט ראשון, שכן התצפיות של גרם השמיים הן גאוצנטריות, כלומר הן נעשות ממערכת הייחוס של כדור הארץ ולא של השמש, שהוא עצמו נע במסלול אליפטי סביב השמש. לשם כך היה עליו להתאים את השיטה כולה לחישוב על בסיס תצפיות גאוצנטריות. לפיכך החלק השני עוסק בבעיה של מסלולים כפי שהם נראים ממערכת הייחוס של כדור הארץ. בסוף החלק השני, גאוס מנסח משוואה דיפרנציאלית לתנועה של גרם שמיימי במערכת קואורדינטות גאוצנטרית ומיישם את התוצאה התאורטית לדוגמה מעשית. כחלק מן ההקדמה גאוס מציג בפתיחת הספר הראשון את קבוע הכבידה הגאוסי, מעיין תחליף לקבוע הכבידה האוניברסלי. אחד התוצרים של הספר הוא מתן האומדן המדויק ביותר לקבוע הכבידה - גאוס חישב את ערכו של השורש הריבועי של הקבוע שלו כ-0.01720209895.

החלק השלישי מוקדש לבעיה של חישוב מסלול ממספר תצפיות. הכלים האנליטיים בהם הוא עושה שימוש מתבססים כולם על פיתוחים לטורים אינסופיים ועל פיתוחים לשברים משולבים (הפיתוח לשבר משולב נעשה במאמרים 90 ו-100 בספר). החלק הרביעי והאחרון של הספר הראשון עוסק במקרה של גרם שמיימי שהמישור המסלולי שלו הינו בעל נטייה מסלולית אפסית ביחס למישור המילקה.

ספר שני

אחרי פרקי ההכנה של הספר הראשון גאוס תוקף בספר השני את הבעיה המרכזית של ה-Theoria motus - הקביעה של מסלולו של גרם שמיים מתצפיות ריאליות (בעלות שגיאות). כפי שהוסבר מקודם, הבעיה נפתרת בשני שלבים, שהראשון הוא קבלת מסלול אפשרי ראשוני בהתאם לתצפיות ואילו השני הוא שיפור התוצאה הראשונית הזאת. חלקים 1 ו-2 של הספר השני עוסקים במשימה הראשונה, ואילו חלקים 3 ו-4 עוסקים במשימה השנייה.

הפסקות הראשונות של החלק הראשון עוסקות בבעיות מקדימות כמו האפקט של המיקום של הצופה על כדור הארץ או של סיבוב כדור הארץ. המסלול לא יכול להיות מחושב ישירות בגלל שהמשוואות השלטות הן סבוכות מדי; כדי לפשט אותם, גאוס מפרק את הבעיה באמצעות כתיבת שתי משוואות חדשות X ו-Y בשני נעלמים x ו-y שהם פונקציות של האלמנטים של המסלול. המשתנים x ו-y מבוטאים קודם בצורה כללית ולאחר מכן נמצאים באמצעות תהליך איטרטיבי מתכנס. בנקודה זו, גאוס משתמש ברבות מהתוצאות של הספר הראשון לצורך הצבות ופישוט אלגברי של המשוואות המתקבלות. אחרי שהשיג סקירה מלאה של כל האפשרויות שקיימות, המשוואות המדויקות לאלמנטים המסלוליים נגזרים במאמרים 140 ו-141; המשוואות הן מסובכות ומובילות לפולינומים ממעלה 8.

בחלק השני של הספר, גאוס עוסק שוב בבעיה של חיזוי מסלול מ-4 תצפיות גאוצנטריות של גרם שמיימי עם מישור תנועה שמתלכד, או כמעט מתלכד, עם מישור המילקה. במקרה זה, לשגיאות קטנות במדידות יהיה השפעה עצומה אם עובדים רק עם 3 תצפיות. גאוס נותן שוב דוגמה מעשית, הפעם עם מידע בנוגע לוסטה (Vesta), אסטרואיד קטן עם נטייה מסלולית קטנה ביחס למישור המילקה.

שני החלקים האחרונים מוקדשים לבעיה של עידון המסלול המקורב. גאוס מפרסם לראשונה את שיטת הריבועים הפחותים בחלק 3 - זהו הכלי היעיל והמתאים ביותר שלו לשיפור המסלולים. השיטה מתוארת במאמר 186 כ-"עקרון שסכום ריבועי הסטיות של הערכים המחושבים מהערכים הנצפים חייב להיות מינימלי". כיוון שמסלול האסטרואיד אינו קו ישר, שיטת הריבועים הפחותים בגרסתה הפשוטה אינה מתאימה לקבלת המסלול הטוב ביותר, אלא שגאוס פיתח שיטות עידון מסלול מתקדמות בהרבה (ראו גם אלגוריתם גאוס-ניוטון), אשר הוא יצר במיוחד לצורך מטרה זו. בחלק זה גאוס נותן הצדקה ראשונה לעקרון, מעיין קווים כללים של הוכחה לטענה שהמסלול הסביר ביותר הוא זה שמקיים את העקרון הזה (ההצדקה מתבססת במידת מה על ההיפותזה של ההתפלגות הנורמלית של שגיאות). הצדקה נוספת ואיתנה יותר לעקרון גאוס ייתן במאמרו על סטטיסטיקה משנת 1823.

בחלק הרביעי גאוס מעיר מספר הערות על הפרטורבציות של מסלולים אליפטיים שנגרמות על ידי כוכבי הלכת. גאוס לא נכנס לפרטים, אך הוא מדגיש את החשיבות של קביעת המסות של כוכבי הלכת מעוצמת ההפרעות שהם גורמים למסלולי שביטים ואסטרואידים.

קישורים חיצוניים

• גרסה מקוונת ומתורגמת לאנגלית של ספרו של גאוס בארכיון האינטרנט
• קישור לאתר שמנתח את תהליכי הפתרון של גאוס מופיע פה: The Mind of Gauss.