אנליזה ממשית

האנליזה הממשית (Real analysis) היא תחום באנליזה מתמטית העוסק במחקר של פונקציות ממשיות. אלו פונקציות המקבלות ערכים ממשיים ומחזירות ערכים ממשיים, כדוגמת $\ f(x)=x^{2}$ או $\ f(x)=\sin(x)$ ובאופן כללי כל פונקציה מהצורה $f:U\rightarrow V$ כאשר U ו-V תתי קבוצות של $\mathbb {R}$ (או כולו)

ברמה הבסיסית של המחקר, מסתפקים בחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי לטיפול בפונקציות ממשיות, אך ניתן לתת דוגמאות בהן כלים של האנליזה האלמנטרית כושלים. למשל, אם נתייחס לפונקציה:

$D(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {Q} \end{matrix}}\right.$

פונקציה זו, שנקראת פונקציית דיריכלה בעלת תכונות מיוחדות, אחת מהן היא שהפונקציה אינה רציפה באף אחת מנקודות הישר וכמו כן אין אפשרות לחשב את ערך האינטגרל שלה בקטע $[0,1]$ . אך חקירת פונקציה זו אינה שונה מחקירתה של כל פונקציה אחרת, ולכן קם הצורך לפתח כלים מתקדמים יותר בהשוואה לאינטגרל רימן למשל.

במסגרת האנליזה הממשית מתקבלת הרחבה של מושג האינטגרל והנגזרת - כך שיהיו שימושיים עבור פונקציות ממשיות כדוגמת פונקציית דיריכלה, או פונקציית המדרגות של קנטור. בהתבסס על תאוריה של תורת המידה מוגדר אינטגרל לבג שהוא מאבני היסוד של האנליזה הממשית המודרנית.

קבוצות בישר

אחד הנושאים באנליזה ממשית הוא חקר תתי- קבוצות של הישר. אפשר לחשוב על חקר זה כעל שלב מקדים לחקר פונקציות ממשיות. לדוגמה, פונקציה רציפה היא פונקציה שתחתיה תמונה הפוכה של קבוצה פתוחה היא פתוחה, ופונקציה מדידה היא פונקציה שתחתיה תמונה הפוכה של קבוצה מדידה היא מדידה. כמו כן, ניתן לחקור אינטגרל לבג של פונקציה על ידי קרובה על ידי צירוף ליניארי של פונקציות מציינות של קבוצות מדידות^{[דרושה הבהרה]}. להלן תרשים המסכם מחלקות של קבוצות על הישר הנחקרות במסגרת האנליזה הממשית ואת ההכלות בניהן.