מסילה גאודזית

משולש גאודטי על ספירה תלת-ממדית. הגאודזות הן המעגלים הגדולים של הספירה

בגאומטריה דיפרנציאלית, מסילה גאודזית היא מסילה המתארת באופן מקומי את הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות במרחב. זוהי הכללה של מושג הקו הישר מהגאומטריה האוקלידית ליריעות כלליות. למשל, על פני הכדור, המסילות הגאודזיות הן המעגלים הגדולים שהרדיוס שלהם שווה לרדיוס הכדור.

על פי תורת היחסות הכללית, גופים שלא פועלים עליהם כוחות מלבד כוח הכבידה, נעים על פני מסילות גאודזיות במרחב-זמן העקום.

אם מוגדרת מטריקה דיפרנציאלית על המרחב האפיני, למשל באמצעות סמלי כריסטופל, המסילות הגאודזיות מקיימות את המשוואה הדיפרנציאלית הנובעת מן העובדה שהווקטור המשיק שלהן מקביל לעצמו לאחר העתקה מקבילה לאורך העקום. ניתן גם למצוא את המסילה הקצרה ביותר בין שתי נקודות במרחב עקום על ידי כתיבת משוואת אורך הקו לפי פרמטר כלשהו, ואז למצוא את המינימום של משוואה זו על ידי חשבון וריאציות.

מסילה גאודזית במרחב עקום

ביריעה רימנית עם טנזור מטרי $g$ , האורך של מסילה גזירה ברציפות $\gamma :[a,b]\to M$ מוגדר על ידי

$L(\gamma )=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g{\bigl (}{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t){\bigr )}}}\,dt$

המרחק $d(p,q)$ בין שתי נקודות $p,q$ ב־$M$ מוגדר כאינפימום של כל אורכי המסילות האפשריות הגזירות ברציפות למקוטעין $\gamma :[a,b]\to M$ כך שמתקיים $\gamma (a)=p,\gamma (b)=q$ .

משוואת המסילה הגאודזית

במרחב בעל העתקה מקבילה, הטרנספורט המקבילי של וקטור משיק לאורך המסילה הגאודזית אינו משנה אותו:

$$\nabla _{u}u=0$$

כאשר $u={\frac {\partial }{\partial \tau }}$ והעקומה היא $x^{j}(\tau )$ בהטלה למערכת צירים נקבל:

$${\frac {\partial ^{2}x^{j}}{\partial \tau ^{2}}}+{\Gamma _{i}}_{k}^{j}{\frac {\partial x^{i}}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{k}}{\partial \tau }}=0$$

כאשר $e_{j}$ הם וקטורי הבסיס. ${\Gamma _{i}}_{k}^{j}$ הם סמלי כריסטופל.