שיטת המיצוי

במתמטיקה, שיטת המיצוי היא שיטה להוכחת נוסחה לחישוב שטח של צורה כלשהי באמצעות חסימת סדרה של מצולעים בתוך הצורה, כך ששטח המצולעים בסדרה מתכנס לשטח הצורה – ההפרש בין שטח המצולע לשטח הצורה הולך וקטן ככל שאנו מתקדמים בסדרה. באופן דומה משמשת שיטה זו להוכחת נוסחה לחישוב נפח של גוף. שיטה זו, ששימשה בעת העתיקה, היא קודמתה של האינטגרציה, ואינה משמשת עוד לאחר פיתוח החשבון האינפיניטסימלי. טכניקת ההוכחה המשמשת במסגרת שיטת המיצוי היא הוכחה בדרך השלילה, ולכן שיטת המיצוי אינה משמשת לגילוי נוסחאות חדשות, אך מאפשרת הוכחה פורמלית לנוסחאות שהתגלו בדרך אחרת.

את הרעיון הגה לראשונה אנטיפון, בן המאה ה-5 לפנה"ס, אם כי לא ברור עד כמה הבין אותו. ביסוס לרעיון ניתן על־ידי אאודוקסוס, בן המאה ה-4 לפנה"ס, באמצעות תכונת ארכימדס, שארכימדס ייחס את קביעתה לאאודוקסוס. כן ייחס לו ארכימדס את הוכחת הנוסחה לחישוב נפח חרוט באמצעות שיטת המיצוי.

בספר ה־12 של "יסודות", ספרו של אוקלידס, נידונה שיטת המיצוי כדרך לחישוב נפחים. הספר כולל את הנוסחאות לנפחי פירמידה, חרוט, גליל וכדור.

הדגמה לשיטת המיצוי לחישוב שטח מעגל

ארכימדס, בן המאה ה-3 לפנה"ס, העמיק את השימוש בשיטת המיצוי, והשתמש בה כדי לחשב, בהינתן רדיוס מעגל את היקף המעגל (ובעקבותיו את פאי, השווה ליחס בין היקף המעגל לקוטרו): נחשב את הקפם של מצולע חוסם ומצולע חסום במעגל, ומכיון שהקף המעגל קטן מהקף המצולע החוסם וגדול מהיקף המצולע החסום, אפשר לחשב אותו בכל רמת דיוק שנרצה, בעזרת הגדלת מספר צלעות המצולע. בשיטות המבוססות על העיקרון של שיטת המיצוי חישב ארכימדס שטחים ונפחים של מצולעים ופאונים.

תוצאות נוספות שהוכחו באמצעות שיטת המיצוי:

השטח החסום על־ידי קו ישר החוצה פרבולה הוא ${\tfrac {4}{3}}$ משטח המשולש בעל אותו בסיס וגובה.
שטח האליפסה יחסי לשטח מלבן שצלעותיו שוות לציר הראשי והציר המשני של האליפסה.
נפח כדור הוא 4 פעמים נפח החרוט שגובהו ורדיוס בסיסו שווים לרדיוס הכדור.
נפח גליל שגובהו שווה לקוטר בסיסו הוא ${\tfrac {3}{2}}$ מנפח כדור בעל אותו קוטר.
השטח החסום על־ידי קטע ישר וסיבוב אחד של ספירלה הוא ${\tfrac {1}{3}}$ משטח העיגול שרדיוסו שווה לאורך הקטע.