משפט הערך הממוצע של גאוס
במתמטיקה, משפט הערך הממוצע של גאוס הוא שמם של שני משפטים דומים:
- משפט הערך הממוצע של גאוס באנליזה מרוכבת: הערך שפונקציה הולומורפית מקבלת בנקודה הוא ממוצע הערכים שהיא מקבלת במעגל סביב הנקודה.
- משפט הערך הממוצע של גאוס לפונקציות הרמוניות: הערך שפונקציה הרמונית מקבלת בנקודה הוא ממוצע הערכים שהיא מקבלת בספירה סביב הנקודה.
הדמיון בין המשפטים אינו מקרי. החלק הממשי והמרוכב של פונקציה הולומורפית הן פונקציות הרמוניות.
מהמשפט נובע עקרון המקסימום.
פונקציות הולומורפיות
תהי $ f $ פונקציה הולומורפית, ויהי $ r\geq 0 $ כך שהעיגול ברדיוס $ r $ סביב נקודה $ z_{0} $ מוכל בתחום של $ f $ . אזי:
- $ f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{\theta i})d\theta $
הוכחה
יהי $ C=\{z:|z-z_{0}|=r\} $ . לפי נוסחת האינטגרל של קושי:
- $ f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz $
$ z_{0}+re^{i\theta },\theta \in [0,2\pi ) $ היא פרמטריזציה של המעגל $ C $ . לכן:
- $ f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {f(z_{0}+re^{\theta i})}{re^{\theta i}}}ire^{\theta i}d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{\theta i})d\theta $
פונקציות הרמוניות
מהשוויון הנ"ל ניתן להסיק שוויון אנלוגי לפונקציות הרמוניות.
נניח כי $ u $ פונקציה הרמונית במרחב פשוט קשר פתוח. לפי משפט מאנליזה מרוכבת, היא מהווה חלק ממשי של פונקציה אנליטית $ f $ על התחום. עבור $ f $ מתקיים השוויון לעיל, ולכן אם נוציא חלק ממשי נקבל (מפני שאינטגרל על פונקציה מרוכבת בגבולות ממשיים מוגדר להיות האינטגרל על החלק הממשי שלה ואנטגרל על החלק המדומה שלה כפול i):
- $ u(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u(z_{0}+re^{i\theta i})d\theta $
תכונה זו נקראת תכונת הערך הממוצע לפונקציות הרמוניות. לפי משפט, פונקציה היא הרמונית אם ורק אם היא מקיימת את תכונת הערך הממוצע.
(כאשר $ u(z)=u{\bigl (}{\text{Re}}(z),{\text{Im}}(z){\bigr )} $). להכללה של העקרונות הללו ראו גרעין פואסון.