עקרון המקסימום

באנליזה מרוכבת, עקרון המקסימום קובע שאם $\ f$ פונקציה הולומורפית בתחום $\ D$ וקיים $\ z\in D$ שהוא מקסימום מקומי של $\ |f|$ אז $\ f$ קבועה.

בנוסח שקול, אם $f$ רציפה בקבוצה קומפקטית ${\bar {D}}$ , והולומורפית בפנים שלה, אז המקסימום של $|f|$ ב- ${\bar {D}}$ מתקבל על השפה $\partial {\bar {D}}$ .

הוכחה

יהי $z_{0}\in D$ מקסימום מקומי של $|f|$ . משמע קיים $0<R$ קטן מספיק כך שבעיגול ברדיוס $R$ סביב $z_{0}$ , $f$ הולומורפית ו- $z_{0}$ מקסימום מוחלט של $|f|$ . יהי $0\leq r<R$ . לפי משפט הערך הממוצע של גאוס:

f(z_{0})={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{f(z_{0}+re^{i\theta })}\,d\theta

לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי:

|f(z_{0})|\leq {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{|f(z_{0}+re^{i\theta })|}\,d\theta \leq {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{|f(z_{0})|}\,d\theta =|f(z_{0})|

זוהי שרשרת אי-שוויונות חלשים שמתחילה ונגמרת באותו מספר, ולכן כל האי-שוויונות הם שוויונות. לכן:

(*)\ \ \int _{0}^{2\pi }{|f(z_{0}+re^{i\theta })|}\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }{|f(z_{0})|}\,d\theta

נגדיר $g(x)=\int _{0}^{x}{|f(z_{0})|-|f(z_{0}+re^{i\theta })|}\,d\theta$ בקטע $[0,2\pi ]$ . $g$ עולה חלש, שכן מהמקסימליות של $|f(z_{0})|$ :

g'(\theta )=|f(z_{0})|-|f(z_{0}+re^{i\theta })|\geq 0

אולם מ- $(*)$ נובע ש- $g(0)=g(2\pi )=0$ , ולכן $g(x)=0$ לכל $x\in [0,2\pi ]$ . מכאן ש- $g'(\theta )=0$ לכל $x\in [0,2\pi ]$ , כלומר:

|f(z_{0}+re^{i\theta })|=|f(z_{0})|

קיבלנו ש- $|f|$ קבועה בעיגול המוכל בתחום. לכן (כפי שניתן להסיק ממשוואות קושי-רימן) גם $f$ קבועה בעיגול. ממשפט היחידות נובע ש- $f$ קבועה בכל התחום.

עקרון המקסימום לפונקציה הרמונית

ניתן לנסח גרסה דומה לעקרון המקסימום גם לפונקציות הרמוניות. בניגוד למקרה המרוכב, משפט היחידות איננו תקף לפונקציות הרמוניות (למשל, הפונקציה $u(x,y)=x$ עם $\{(x,y):x^{2}+y^{2}<1\}$ שווה זהותית לאפס על $\{0\}\times (0,1)$ אך איננה קבועה).

ראשית ננסח גרסה נקודתית:

משפט - אם $u$ פונקציה הרמונית בתחום $\Omega$ , ומקבלת מקסימום מקומי בנקודה $z_{0}\in \Omega$ , אז היא קבועה בסביבת $z_{0}$ .

הגרסה הכללית היא:

משפט - אם $u$ הרמונית בתחום חסום $\Omega$ , ורציפה בשפה $\partial \Omega$ , אז אם קיימת $z_{0}\in \Omega$ כזו ש- $\max _{z\in {\overline {\Omega }}}{u(z)}=u(z_{0})$ אז היא קבועה ב- $\Omega$ .

במיוחד, המשפט תקף עבור החלק המדומה והממשי של כל פונקציה אנליטית, ובעזרתו ניתן להוכיח טענות רבות.

למשל, אם $f$ פונקציה שלמה ומתקיים $\forall |z|=1:f(z)\in \mathbb {R}$ , אז $f$ קבועה, משום שמתקיים $\forall |z|=1:Im(f(z))=0$ ולפי עקרון המקסימום $\forall |z|\leq 1:Imf(z)=0$ , ואז הפונקציה $e^{if(z)}:D\to \{|z|=1\}$ איננה העתקה פתוחה, ולכן היא קבועה, ולכן גם $f$ קבועה.