אליפסואיד

חתכים מעגליים של אליפסואיד

תרשים של אליפסואיד כאשר כל אחד מהערכים a, b, c שונים זה מזה

אֶלִּיפְּסוֹאִיד הוא גוף תלת-ממדי שכל חתך שלו יוצר אליפסה. המשוואה הכללית שמתארת אליפסואיד במערכת צירים קרטזית היא: $\ \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}=1$, כאשר $\ a,b,c$ הם קבועים המכונים צירי האליפסואיד. המרחק בין מרכז האליפסואיד (0,0,0) לבין הנקודות (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) הנמצאות על פני האליפסואיד נקראים חצי ציר. כאשר בהתאם לגודל של a,b,c מוגדר חצי ציר ראשי וחצאי ציר משניים.

מקרים פרטיים של אליפסואיד:

• $a=b$ – ספרואיד. ספרואיד אפשר לקבל כגוף סיבוב של אליפסה.
  • $a=b>c$ – ספרואיד אובלי. זוהי, בקירוב, צורתו של כדור הארץ (הפחוס בקטבים בגלל השפעת הסיבוב).
  • $a=b<c$ – ספרואיד מוארך. זוהי צורתו של כדור פוטבול ורוגבי.
• $a=b=c$ – כדור.

בספרות המתמטית אליפסואיד הוא שם כללי לכל סוגי האליפסואיד, אולם בספרות מדעית אחרת (בעיקר מסילה גאודזית), אלפסואיד מתאר ספרואיד.

נפחו של אליפסואיד הוא ${\frac {4}{3}}\pi \cdot abc$ .

מקרה כללי

במקרה הכללי ניתן להגדיר אליפוסאיד n ממדי (נקרא לעיתים היפראליפסואיד) באמצעות :

$$E\equiv \{x|(\mathbf {x-c} )^{\mathrm {T} }\!A\,(\mathbf {x-c} )\leq 1\}$$

כאשר A היא מטריצה חיובית, x ו-c הם וקטורים. הווקטורים העצמאיים של A קובעים את צירי האליפסואיד, והערכים עצמיים שלה הם ההופכיים של ריבועי חצאי הצירים, ואילו c מגדירה את מרכז האליפסואיד.

באופטימיזציה ובלמידת מכונה נעשה שימוש באליפסואיד ממד גבוה במסגרת שיטה איטרטיבית לאופטימיזציה קמורה, המוכרת כשיטת האליפסואיד , שבמסגרתה נוצרת סדרת אליפסואידים שלהם נפח הולך וקטן בכל שלב עד להתכנסות למציאת הפתרון.

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.