אליפסואיד

חתכים מעגליים של אליפסואיד

תרשים של אליפסואיד כאשר כל אחד מהערכים $ a,b,c $ שונים זה מזה

אֶלִּיפְּסוֹאִיד הוא גוף תלת-ממדי שכל חתך שלו יוצר אליפסה. צורתו של כדור הארץ ניתנת לתיאור על ידי אליפסואיד.

המשוואה הכללית שמתארת אליפסואיד במערכת צירים קרטזית היא: $ \ \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}=1 $, כאשר $ \ a,b,c $ הם קבועים המכונים צירי האליפסואיד. המרחק בין מרכז האליפסואיד $ (0,0,0) $ לבין הנקודות $ (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c) $ שנמצאות על פני האליפסואיד נקראים חצי ציר. כאשר בהתאם לגודל של $ a,b,c $ מוגדר חצי ציר ראשי וחצאי ציר משניים.

קיימים מקרים פרטיים של אליפסואיד:

• $ a=b $ - נקרא ספרואיד. ספרואיד אפשר לקבל כגוף סיבוב של אליפסה.
  • $ a=b>c $ - נקרא ספרואיד אובלי. זוהי, בקירוב, צורתו של כדור הארץ (הפחוס בקטבים בגלל השפעת הסיבוב).
  • $ a=b<c $ - נקרא ספרואיד מוארך. זוהי צורתו של כדור פוטבול ורוגבי.
• $ a=b=c $ - כדור.

בספרות המתמטית אליפסואיד הוא שם כללי לכל סוגי האליפסואיד, אולם בספרות מדעית אחרת (בעיקר גאודזיה), אלפסואיד מתאר ספרואיד.

נפחו של אליפסואיד הוא $ {\frac {4}{3}}\pi \cdot abc $.

שטח הפנים של אליפסואיד הוא

$ S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\varphi )}}\left(E(\varphi ,k)\,\sin ^{2}(\varphi )+F(\varphi ,k)\,\cos ^{2}(\varphi )\right) $

כאשר

$ \cos(\varphi )={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c, $

F(φ, k) ו-E(φ, k) הם אינטגרלים אליפטיים מהסוג הראשון והשני בהתאמה.

מקרה כללי

במקרה הכללי ניתן להגדיר אליפסואיד n ממדי (נקרא לעיתים היפראליפסואיד) באמצעות : $ {\displaystyle E\equiv \{x\mid (\mathbf {x-c} )^{\mathrm {T} }\!A\,(\mathbf {x-c} )\leq 1\}} $ כאשר $ A $ היא מטריצה חיובית, $ \mathbf {x} $ ו-$ \mathbf {c} $ הם וקטורים. הווקטורים העצמיים של $ A $ קובעים את צירי האליפסואיד, והערכים עצמיים שלה הם ההופכיים של ריבועי חצאי הצירים, ואילו c מגדירה את מרכז האליפסואיד.

באופטימיזציה ובלמידת מכונה נעשה שימוש באליפסואיד ממד גבוה במסגרת שיטה איטרטיבית לאופטימיזציה קמורה, המוכרת כשיטת האליפסואיד , שבמסגרתה נוצרת סדרת אליפסואידים שלהם נפח הולך וקטן בכל שלב עד להתכנסות למציאת הפתרון.

קישורים חיצוניים

• אליפסואיד, באתר MathWorld (באנגלית)
• אליפסואיד, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אליפסואיד40452839Q190046