אליפסואיד

חתכים מעגליים של אליפסואיד

תרשים של אליפסואיד כאשר כל אחד מהערכים $a,b,c$ שונים זה מזה

אֶלִּיפְּסוֹאִיד הוא גוף תלת-ממדי שכל חתך שלו יוצר אליפסה. צורתו של כדור הארץ ניתנת לתיאור על ידי אליפסואיד.

המשוואה הכללית שמתארת אליפסואיד במערכת צירים קרטזית היא: $\ \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}=1$, כאשר $\ a,b,c$ הם קבועים המכונים צירי האליפסואיד. המרחק בין מרכז האליפסואיד $(0,0,0)$ לבין הנקודות $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$ שנמצאות על פני האליפסואיד נקראים חצי ציר. כאשר בהתאם לגודל של $a,b,c$ מוגדר חצי ציר ראשי וחצאי ציר משניים.

קיימים מקרים פרטיים של אליפסואיד:

• $a=b$ - נקרא ספרואיד. ספרואיד אפשר לקבל כגוף סיבוב של אליפסה.
  • $a=b>c$ - נקרא ספרואיד אובלי. זוהי, בקירוב, צורתו של כדור הארץ (הפחוס בקטבים בגלל השפעת הסיבוב).
  • $a=b<c$ - נקרא ספרואיד מוארך. זוהי צורתו של כדור פוטבול ורוגבי.
• $a=b=c$ - כדור.

בספרות המתמטית אליפסואיד הוא שם כללי לכל סוגי האליפסואיד, אולם בספרות מדעית אחרת (בעיקר גאודזיה), אלפסואיד מתאר ספרואיד.

נפחו של אליפסואיד הוא ${\frac {4}{3}}\pi \cdot abc$.

שטח הפנים של אליפסואיד הוא

$S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\varphi )}}\left(E(\varphi ,k)\,\sin ^{2}(\varphi )+F(\varphi ,k)\,\cos ^{2}(\varphi )\right)$

כאשר

$\cos(\varphi )={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c,$

F(φ, k) ו-E(φ, k) הם אינטגרלים אליפטיים מהסוג הראשון והשני בהתאמה.

מקרה כללי

במקרה הכללי ניתן להגדיר אליפסואיד n ממדי (נקרא לעיתים היפראליפסואיד) באמצעות :

$$E\equiv \{x\mid (\mathbf {x-c} )^{\mathrm {T} }\!A\,(\mathbf {x-c} )\leq 1\}$$

כאשר $A$ היא מטריצה חיובית, $\mathbf {x}$ ו-$\mathbf {c}$ הם וקטורים. הווקטורים העצמיים של $A$ קובעים את צירי האליפסואיד, והערכים עצמיים שלה הם ההופכיים של ריבועי חצאי הצירים, ואילו c מגדירה את מרכז האליפסואיד.

באופטימיזציה ובלמידת מכונה נעשה שימוש באליפסואיד ממד גבוה במסגרת שיטה איטרטיבית לאופטימיזציה קמורה, המוכרת כשיטת האליפסואיד , שבמסגרתה נוצרת סדרת אליפסואידים שלהם נפח הולך וקטן בכל שלב עד להתכנסות למציאת הפתרון.

קישורים חיצוניים

• אליפסואיד, באתר MathWorld (באנגלית)
• אליפסואיד, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אליפסואיד40452839Q190046