יחס (תורת הקבוצות)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, יחס בינארי או רלציה בין קבוצות כלשהן $A$ ו-$B$ הוא קבוצה של זוגות סדורים של איברים, כך שהאיבר הראשון בכל זוג שייך ל-$A$, והשני ל-$B$. קיימים גם יחסים $n$-אריים, שהם קבוצות של $n$-יות מקבוצות נתונות $A_{1},\dots ,A_{n}$.

אם $(a,b)\in {\mathcal {R}}$ נאמר ש-$a$ עומד ביחס עם $b$ ונסמן $a{\mathcal {R}}b$.

שוויון, אי-שוויון, וכל פונקציה במשתנה אחד או יותר, כולם דוגמאות ליחסים.

הגדרה פורמלית

יחס ${\mathcal {R}}$ בין הקבוצות $A$ ו-$B$ הוא קבוצה המקיימת ${\mathcal {R}}\subseteq A\times B$.

יחס n-ארי ${\mathcal {R}}$ בין הקבוצות $A_{1},...,A_{n}$ הוא תת-קבוצה ${\mathcal {R}}\subseteq \prod _{i=1}^{n}A_{i}$.

תכונות של יחסים

יחס ${\mathcal {R}}\subseteq A\times A$ ייקרא:

• רפלקסיבי אם לכל איבר בקבוצה $a\in A$, מתקיים $a{\mathcal {R}}a$. לדוגמה היחס 'שווה' הוא רפלקסיבי בקבוצת המספרים הרציונליים, כיוון שכל מספר שווה לעצמו.
  • אי-רפלקסיבי אם לכל איבר בקבוצה $a\in A$, לא מתקיים $a{\mathcal {R}}a$. לדוגמה היחס 'גדול מ-' הוא אי-רפלקסיבי בקבוצת המספרים הרציונליים, כיוון שאף מספר אינו גדול מעצמו.
  • קו-רפלקסיבי אם לכל זוג איברים בקבוצה $a,b\in A$, המקיים $a{\mathcal {R}}b$ מתקיים $a$ שווה ל-$b$. לדוגמה היחס 'שווה ל-' הוא קו-רפלקסיבי בקבוצת המספרים הרציונליים (בעוד שהיחס 'בעל חֶזקה ריבועית שזהה לזו של' הוא קו-רפלקסיבי רק בקבוצת המספרים החיוביים - אך לא בקבוצת המספרים הרציונליים).
• סימטרי אם כל זוג איברים בקבוצה $a,b\in A$, מקיים $a{\mathcal {R}}b\iff b{\mathcal {R}}a$. לדוגמה היחס 'שווה ל-' הוא סימטרי בקבוצת המספרים הרציונליים (אם $a=b$ אז $b=a$).
  • א-סימטרי (או אנטי-סימטרי חזק) אם כל זוג איברים בקבוצה $a,b\in A$, המקיים $a{\mathcal {R}}b$ אינו מקיים $b{\mathcal {R}}a$. לדוגמה היחס 'גדול מ-' הוא א-סימטרי בקבוצת המספרים הרציונליים (אם $b<a$ אז לא מתקיים $a<b$). יחס כזה הוא אנטי-סימטרי חזק (וגם אי-רפלקסיבי).
  • אנטי-סימטרי (או אנטי-סימטרי חלש) אם כל זוג איברים בקבוצה $a,b\in A$, המקיים $a{\mathcal {R}}b$ וגם $b{\mathcal {R}}a$ מקיים a שווה ל- b. לדוגמה היחס 'גדול או שווה ל-' הוא אנטי סימטרי בקבוצת המספרים הרציונליים (אם $a\leq b$ וגם $b\leq a$ אז $a=b$).
• טרנזיטיבי אם לכל שלושה איברים בקבוצה $a,b,c\in A$, המקיימים $a{\mathcal {R}}b$ וגם $b{\mathcal {R}}c$ מתקיים $a{\mathcal {R}}c$. לדוגמה היחס 'קטן מ-' הוא טרנזיטיבי בקבוצת המספרים הרציונליים (אם $a<b$ וגם $b<c$ אז מכאן ש- $a<c$).
  • אי-טרנזיטיבי אם לכל שלושה איברים בקבוצה $a,b,c\in A$, המקיימים $a{\mathcal {R}}b$ וגם $b{\mathcal {R}}c$ לא מתקיים $a{\mathcal {R}}c$. לדוגמה היחס 'עוקב של' הוא אי-טרנזיטיבי בקבוצת המספרים הרציונליים (אם $a+1=b$ וגם $b+1=c$ אז לא מתקיים $a+1=c$).
• יחס שקילות אם ${\mathcal {R}}$ הוא רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי.
• יחס סדר אם ${\mathcal {R}}$ הוא רפלקסיבי, אנטי סימטרי וטרנזיטיבי.

דוגמאות לאינטראקציות שבין תכונות של יחסים

• יחס טרנזיטיבי אי-רפלקסיבי הוא א-סימטרי
• יחס אי-טרנזיטיבי רפלקסיבי הוא א-סימטרי
• יחס א-סימטרי הוא אנטי סימטרי אי-רפלקסיבי

דוגמאות ליחסים

מושג היחס מהווה אבן יסוד להגדרת מושגים בסיסיים רבים במתמטיקה:

• פונקציה, $f$, היא סוג של יחס, המאופיין על ידי התכונות חד ערכיות: $(x,y)\in f\land (x,z)\in f\Rightarrow y=z$ וקיום התאמה לכל איבר בקבוצה: $\forall _{x\in A}\exists _{y\in B}(x,y)\in f$.
• פעולה בינארית היא סוג של יחס (זוהי למעשה פונקציה מאוסף הזוגות הסדורים של קבוצה מסוימת אליה עצמה).
• סדר חלקי (מכונה גם "סדר חלקי חלש" או "סדר חלש", ומסומן בדרך כלל ב- $\leq$) הוא יחס רפלקסיבי, אנטי-סימטרי וטרנזיטיבי.
  • סדר מלא הוא סדר חלקי אשר מקיים את תכונת ההשוואה, כלומר, לכל $a$ ו-$b$ בקבוצה הסדורה חלקית $\left(A,\leq \right)$ מתקיים או $a\leq b$ או $b\leq a$.
• יחס שקילות הוא יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. יחס שקילות משרה חלוקה על הקבוצה עליה הוא מוגדר, למחלקות שקילות על ידי ההגדרה ששני איברים יהיו באותה מחלקת שקילות, אם ורק אם הם עומדים ביחס.
• היחס "צאצא ביולוגי", הוא דוגמה ליחס אי-רפלקסיבי (אדם אינו צאצא של עצמו), א-סימטרי (אם אדם א' הוא צאצאו של אדם ב' אז ב' אינו צאצאו של א') וטרנזיטיבי (אם אדם א' הוא צאצאו של אדם ב' וב' בתורו הוא צאצא של ג', אז א' גם הוא צאצא של ג').

פעולות על יחסים

הרכבת יחסים – לכל שני יחסים $R\subseteq A\times B,S\subseteq B\times C$ ניתן להגדיר יחס שלישי, $T\subseteq A\times C$ כהרכבה של שניהם:

$\ T=R\circ S=\left\{(x,z):\exists y,\ xRy\land ySz\right\}$

לפי הגדרה זו - הרכבת פונקציות היא למעשה מקרה פרטי של הרכבת יחסים. הרכבת יחסים רפלקסיביים או טרנזיטיביים היא רפלקסיבית או טרנזיטיבית בהתאמה.

היחס ההופכי – עבור היחס $R\subseteq A\times B$ נגדיר את היחס ההפוך $R^{-1}\subseteq B\times A$ על ידי היפוך הזוגות הסדורים:

$R^{-1}=\left\{(y,x):xRy\right\}$

הרכבת יחס עם היחס ההופכי, כמו גם איחודם, מניבה יחס סימטרי.

כל יחס $R$ על קבוצה $A$ ניתן להשלים באופן מינימלי ליחס רפלקסיבי, סימטרי או טרנזיטיבי על ידי לקיחת החיתוך של אוסף כל היחסים בעלי אותה תכונה שמכילים אותו. כיוון שתכונות אלו נשמרות תחת החיתוך, הקבוצה המתקבלת, המכונה הסגור של $R$ ביחס לתכונה המבוקשת (רפלקסיביות, סימטריות או טרנזיטיביות), היא היחס המינימלי שמכיל את $R$ ומקיים את אותה תכונה.

ראו גם

• תורת הקבוצות - מונחים

קישורים חיצוניים

• יחס (תורת הקבוצות), באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34219397יחס (תורת הקבוצות)