פונקציה מציינת

במתמטיקה, פונקציה מציינת, הנקראת גם פונקציה אופיינית או לעיתים גם אינדיקטור, היא פונקציה המוגדרת בקבוצה $X$ ומציינת שייכות לתת-קבוצה $A$ של $X$ .

הפונקציה המציינת $1_{A}:X\to \{0,1\}$ מוגדרת באופן הבא:

$1_{A}(x)={\begin{cases}1&:x\in A\\0&:x\notin A\end{cases}}$

הפונקציה המציינת מסומנת לעיתים גם $\chi _{A}(x),I_{A}(x)$ , או $[x\in A]$ באמצעות סוגריי אייברסון. במקרה הפרטי של הפונקציה עבור $X=\mathbb {N} ,A=\{1\}$ , הפונקציה נקראת פונקציית היחידה.

תכונות בסיסיות

אם $A,B$ תתי-קבוצות של $X$ אזי:

• תכונת החיתוך: $1_{A\cap B}=\min\{1_{A},1_{B}\}=1_{A}\cdot 1_{B}$
• תכונת האיחוד: $1_{A\cup B}=\max\{{1_{A},1_{B}}\}=1_{A}+1_{B}-1_{A}\cdot 1_{B}$ (עקרון ההכלה וההפרדה)
• תכונת המשלים: $1_{A^{c}}=1-1_{A}$

מסקנות:

• תכונת ההפרש הסימטרי: $1_{A\delta B}=1_{A}+1_{B}-2(1_{A}\cdot 1_{B})$

או לחלופין: $1_{A\triangle B}=1_{A}+1_{B}{\pmod {2}}$

רציפות

במרחב טופולוגי, הפונקציה המציינת $1_{A}$ רציפה בכל הנקודות הפנימיות של $A$ ושל המשלים של $A$ , ואינה רציפה בכל הנקודות על שפת $A$ . בכל נקודות הרציפות של $1_{A}$ הפונקציה גם גזירה, ונגזרתה היא אפס.

הקשר לקבוצת החזקה

קבוצת הפונקציות המציינות, $\{0,1\}^{X}={\bigl \{}1_{A}:X\to \{0,1\}|A\subseteq X{\bigr \}}$ , הנה איזומורפית לקבוצת החזקה $P(X)$ . האיזומורפיזם בין הקבוצות מובהק ואף מוטמע בסימון של הפונקציה המציינת. ניתן להבין את הקשר באופן הבא: $a\in A\iff 1_{A}(a)=1$ , כלומר אבר שייך לתת-קבוצה אם ורק אם הפונקציה המציינת המתאימה לקבוצה מקבלת 1 עבור האבר. מכאן נובע כי $|P(A)|=2^{|A|}$ (ראו עוצמה).

תכולה וקשר לאינטגרל

עבר $A$ קבוצה המוכלת בקטע $[a,b]$ , נגדיר את התכולה הפנימית של $A$ להיות האינטגרל התחתון של הפונקציה המציינת של $A$ בקטע $[a,b]$ ואותו הדבר עבור תכולה חיצונית של $A$ על בסיס אינטגרל עליון. אם התכולה הפנימית והתכולה החיצונית של קבוצה הן שוות, אז הן נקראות פשוט התכולה של $A$ . ניתן לראות כי לכל קבוצה בת מנייה יש תכולה אפס, או בצורה כללית יותר, לקבוצה יש תכולה אפס אם"ם קיימת קבוצה סופית של קטעים סגורים כך שאיחודם מכיל את הקבוצה אך סכום האורכים הוא קטן כרצוננו. משפט חשוב בנושא החשבון האינטגרלי הוא שאם לפונקציה חסומה יש קבוצת אי-רציפויות שלה היא בעלת תכולה אפס, אז היא אינטגרבילית.

ראו גם

• מידה (מתמטיקה)
• תורת הקבוצות
• תורת המידה
• אלגברה בוליאנית

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.