ניפוח (גאומטריה אלגברית)

המחשה גאומטרית של הניפוח של המישור בנקודה. אפשר לחשוב על הניפוח הזה כגרף של הפונקציה (הרב ערכית) הנתונה על ידי הנוסחה: $(x,y)\mapsto {\frac {y}{x}}$. העתקת הניפוח היא ההיטל של גרף זה על מישור ה-$(x,y)$ (שיקוף). הישרים השחורים עוברים לישרים שונים במישור. הישר האדום עובר כולו ל-0. הוא נקרא הסיב המיוחד. אלמלא הייתה התמונה חסומה בגובה, היה אפשר לראות בה את ה־$\infty$ של הסיב המיוחד ואת הישר בו $z=\infty$ שעובר (תחת ההיטל) לציר ה-$y$.

בגאומטריה אלגברית ניפוח (באנגלית: Blowing up) הוא פעולה שאפשר לבצע על יריעה אלגברית (או באופן כללי יותר על סכמה). הניפוח משנה את מבנה היריעה בצורה מבוקרת ומהווה כלי חשוב בגאומטריה אלגברית. הניפוח מאפשר לפשט יריעות אלגבריות ואובייקטים אלגבריים עליהן ועומד בבסיס תהליך התרת הסינגולריות . ניתן לחשוב על ניפוח כגרסה אלגברית, מופשטת, וכללית של מעבר לקואורדינטות קוטביות.

ניפוח של יריעה אלגברית $X$ לאורך תת-יריעה סגורה $Z$ היא בנייה מסוימת של יריעה $Bl_{Z}(X)$ ביחד עם העתקה נאותה $p:Bl_{Z}(X)\to X$ המהווה איזומורפיזם מחוץ ל-$Z$. באופן אינטואיטיבי הניפוח מחליף את $Z$ בפרויקטיביזציה של האגד הנורמלי ל-$Z$.

ניפוח של מרחב אפיני לאורך נקודה

הדוגמה הבסיסית ביותר לניפוח היא ניפוח של מרחב לאורך נקודה. בדוגמה זו ניתן להגדיר את הניפוח באופן גאומטרי פשוט ומפורש. ניתן כאן את ההגדרה למקרה הזה.

נקבע שדה $k$ מעליו יהיו מוגדרים כל היריעות שנדון בהן. לצורך הפשטות נניח ש-$k$ סגור אלגברית. זה יאפשר לנו לזהות בין היריעות ובין קבוצת הנקודות שלהן. כל הדברים להלן תקפים גם עבור שדה כללי, עם ההתאמות הנדרשות.

בהינתן מרחב אפיני $V$ ונקודה $x\in V$, הניפוח של $V$ לאורך $x$ הוא יריעה אלגברית $Bl_{x}(V)$ המהווה את אוסף הזוגות המורכבים מישר $L$ ב- $V$ שעובר דרך $x$ ומנקודה $y\in L$. לפי ההגדרה $Bl_{x}(V)$ היא תת-קבוצה של המרחב של המכפלה $\mathbb {P} _{x}(V)\times V$ כאשר $\mathbb {P} _{x}(V)$ הוא המרחב הפרויקטיבי המהווה את אוסף הישרים ב-$V$ העוברים דרך $x$. קל לראות ש- $Bl_{x}(V)\subset \mathbb {P} _{x}(V)\times V$ היא קבוצה סגורה בטופולוגיית זריצקי. הבחנה זו נותנת מבנה של יריעה אלגברית (קוואזי-פרויקטיבית) על $Bl_{x}(V)$. כמו כן אנו מקבלים העתקת הטל $p:Bl_{x}(V)\to V$.

הן היריעה $Bl_{x}(V)$ והן ההעתקה$p:Bl_{x}(V)\to V$ נקראות הניפוח של $V$ לאורך $x$ (או ב-$x$). הנקודה $x$ (כמו גם הקבוצה $\{x\}$) נקראת מרכז הניפוח.

ההעתקה $p:Bl_{x}(V)\to V$ היא בירציונלית (זאת אומרת שהיא מהווה איזומורפיזם לאחר שמצמצמים אותה לקבוצות פתוחות וצפופות במקור ובטווח) ונאותה. במילים אחרות, זו היא מודיפיקציה. זה גם המצב עבור ניפוח במקרה הכללי.

קשר עם קואורדינטות פולריות וספיריות

קואורדינטות פולאריות הן דרך לתאר נקודה במישור באמצעות שני מספרים $\phi ,r$ כאשר $\phi \in [0,2\pi ]$ היא זווית ו-$r\in [0,\infty )$ הוא מרחק הנקודה מהראשית. כך אנחנו מקבלים העתקה $q:[0,2\pi ]\times [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{2}$. העתקה זו איננה חד-חד-ערכית, מכיוון שלחלק מהנקודות יש מספר יצוגים שונים בקואורדינטות פולריות.

נשים לב שכאשר $r=1$ אנחנו מקבלים נקודה על מעגל היחידה $S^{1}$. לכן ניתן לחשוב על קואורדינטות פולריות בשני שלבים. בשלב הראשון $\phi$ מיצגת נקודה על מעגל היחידה, ובשלב השני הזוג המורכב מנקודה זו והמספר $r$ מיצג נקודה במישור. במילים אחרות אנחנו מציגים את $q$ כהרכבה $[0,2\pi ]\times [0,\infty )\to S^{1}\times [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{2}$. לצורך הקשר עם ניפוח נתמקד בחלק השני של ההרכבה $\pi :S^{1}\times [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{2}$.

העתקה זו ניתנת להכללה למרחבים מממד גבוה יותר: $\pi :S^{n-1}\times [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{n}$ על ידי הנוסחה $p(x,r)=rx$ כאשר $S^{n-1}$ היא ספירת היחידה במרחב $\mathbb {R} ^{n}$. להכללה זו קוראים קואורדינטות כדוריות. ההעתקה $\pi :S^{n-1}\times [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{n}$ דומה מאוד לניפוח. ליתר דיוק ניתן לכתוב אותה כהרכבה $S^{n-1}\times [0,\infty )\to Bl_{0}(\mathbb {R} ^{n}){\overset {p}{\to }}\mathbb {R} ^{n}$ כאשר ההעתקה הראשונה מתקבלת מההעתקה הטבעית $S^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}$. במילים אחרות היריעה $Bl_{0}(\mathbb {R} ^{n})$ מתקבלת מהיריעה $S^{n-1}\times [0,\infty )$ על ידי הדבקת כל נקודה בספירה $S^{n-1}\times \{0\}\subset S^{n-1}\times [0,\infty )$ לנקודה הנגדית שלה.

יש מספר הבדלים בולטים בין הניפוח לקואורדינטות ספיריות:

• הניפוח עובד מעל כל שדה, בעוד שקואורדינטות ספיריות תקפות רק מעל הממשיים.
• קואורדינטות ספיריות מפורשות, הכוללות גם קוארדינטות זוויתיות על הספירה מבוססות על פונקציות טריגונומטריות שאינן אלגבריות, בעוד שניפוח הוא פעולה אלגברית לחלוטין.
• היריעה $Bl_{0}(\mathbb {R} ^{n})$ היא יריעה חלקה ללא שפה, בעוד שהיריעה $S^{n-1}\times [0,\infty )$ היא יריעה עם שפה.
• היריעה $Bl_{0}(\mathbb {R} ^{n})$ איננה אוריינטבילית, בעוד שהיריעה $S^{n-1}\times [0,\infty )$ אוריינטביליות.
• לדוגמה, במקרה הדו-ממדי עיגול סביב $0$ במישור מתאים לטבעת מביוס ב $Bl_{0}(\mathbb {R} ^{2})$, ולטבעת רגילה ($S^{1}\times [0,1)$) ב-$S^{1}\times [0,\infty )$.

למרות ההבדלים, קואורדינטות פולריות וספיריות מספקות תמונה אינטואיטיבית טובה עבור ניפוח.

הקשר וטרמינולוגיה

בהינתן יריעה אלגברית $X$ ותת-יריעה סגורה $Z\subset X$ הניפוח של $X$ לאורך $Z$ (או ב-$Z$) הוא יריעה (מסוימת) $Bl_{Z}(X)$ יחד עם העתקה $p_{(X,Z)}:Bl_{Z}(X)\to X$. הן היריעה $Bl_{Z}(X)$ והן ההעתקה $p_{(X,Z)}$ נקראת הניפוח. היריעה $Z$ נקראת מרכז הניפוח. התמונה ההפוכה של מרכז הניפוח תחת העתקת הניפוח נקראת המחלק המיוחד והיא תמיד מחלק קרטייה ב- $Bl_{Z}(X)$. זאת אומרת שהיא תת-יריעה (או ליתר דיוק תת-סכמה) של $Bl_{Z}(X)$ המוגדרת מקומית על ידי משוואה אחת (שאינה מחלקת אפס).

אם $X$ אפינית אז ניתן להתאים ל-$Z$ את האידיאל $I(Z)$ של הפונקציות הרגולריות על $X$ שמתאפסות על $Z$. לניפוח לאורך $Z$ קוראים גם הניפוח לאורך האידיאל $I(Z)$. רק אידיאלים רדיקליים ניתן להציג בתור $I(Z)$ עבור איזשהו $Z$. אולם ניתן לנפח יריעות אפיניות לאורך כל אידיאל של פונקציות רגולריות. באופן כללי יותר, אם $X$ לא אפינית, ניתן לנפח אותה לאורך כל אלומת אידיאלים ${\mathcal {I}}\subset O_{X}$.

מושג הניפוח קיים גם עבור סכמות: ניתן לנפח סכמה $X$ לאורך תת-סכמה סגורה $Z\subset X$. הטרמינולוגיה והסימונים לניפוח סכמות זהים לאלה של יריעות. בשונה מיריעות, עבור סכמה $X$, כל אלומת אידיאלים ${\mathcal {I}}\subset O_{X}$ היא אלומת הפונקציות הרגולריות המתאפסות על תת-סכמה סגורה $Z\subset X$ מתאימה, ולכן אין הבדל בכלליות בין ניפוח לאורך תת-סכמה סגורה וניפוח לאורך אלומת אידיאלים.

בדרך כלל מקובל לנפח לאורך תת-יריעות סגורות דלילות (זאת אומרת שהמשלים שלהן הוא תת-קבוצה פתוחה צפופה). במקרה בו היריעה $X$ היא בלתי פריקה הדבר שקול לכך ש - $Z\neq X$. באופן פורמלי תנאי זה לא נדרש, אולם חלק מהתכונות הבסיסיות של ניפוח לא יתקימו ללא תנאי זה. למשל אם $Z$ איננה דלילה אז העתקת הניפוח לא תהיה על. לדוגמה הניפוח של $X$ לאורך עצמו הוא הקבוצה הריקה.

אפיון הניפוח על־ידי תכונות אוניברסליות

במקום להגדיר את הניפוח באמצעות בנייה מפורשת ניתן לאפיין את הניפוח על ידי תכונות. קל יהיה להוכיח שאפיון זה מגדיר את הניפוח ביחידות (זאת אומרת שכל שתי בנייות של ניפוח שמקיימות את התכונות צריכות להיות איזומורפיות על ידי איזומורפיזם יחיד וטבעי). מכאן שלאחר אפיון הניפוח על ידי תכונות, משימת בנית הניפוח הופכת למשימת הוכחת המשפט שקיימת בנייה שמקיימת את התכונות הנדרשות.

ניתן לאפיין ניפוח כדרך אוניברסלית להפוך כל אידיאל למחלק קרטייה, זאת אומרת אלומת אידיאלים שמקומית נוצרת על ידי איבר אחד שאינו מחלק אפס. באופן פורמלי יותר, בהינתן יריעה $X$ ואלומת אידיאלים $I\subset O_{X}$ עליה, ניתן להגדיר את הניפוח של $X$ לאורך $I$ בתור יריעה $Bl_{I}(X)$יחד עם העתקה $p_{(X,I)}:Bl_{I}(X)\to X$ המקיימת את התכונות הבאות:

• המשיכה $p_{(X,I)}^{*}(I)$ היא אלומת אידיאלים על $Bl_{I}(X)$ הנוצרת מקומית על ידי איבר אחד שאינו מחלק אפס.
• לכל העתקה $\pi :Y\to X$ כך שהמשיכה $\pi ^{*}(I)$ היא אלומת אידיאלים הנוצרת מקומית על ידי איבר אחד קיימת, ויחידה ההעתקה $\phi :Y\to Bl_{I}(X)$ כך שהדיאגרמה

$${\begin{array}{ccc}Bl_{I}(X)&{\stackrel {\phi }{\longleftarrow }}&Y\\p_{(X,I)}\downarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&&\swarrow \pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\X&&\end{array}}$$

קומוטטיבית.

במילים אחרות, הניפוח הוא אובייקט סופי בקטגוריית ההעתקות $\pi :Y\to X$ כך שהמשיכה $\pi ^{*}(I)$ היא מחלק קרטייה. משיקולים סטנדרטיים של תורת הקטגוריות נובע שהניפוח מאופיין ביחידות על ידי תכונות אלה. קיום הניפוח הוא טענה מסובכת יותר. אפשר לראות בבניות להלן בתור הוכחות שונות לקייום הניפוח (במקרים פרטיים או באופן כללי).

אפיון הניפוח על ידי תכונות אוניברסליות עבור סכמות זהה למקרה של יריעה.

נשים לב שאפיון הניפוח מתבצע עבור כל זוג $(X,Z)$ בניפרד והתכונות של הניפוח לא מערבות ניפוחים אחרים. לכן כשבונים את הניפוח, ניתן לעבוד על כל זוג בניפרד. כך גם כשמוכיחים שהבנייה מקיימת את התכונות.

תכונות בסיסיות נוספות

• נאותות: העתקת הניפוח $p_{(X,Z)}:Bl_{Z}(X)\to X$ היא נאותה.
• בירציונליות: הניפוח הוא איזומורפיזם מחוץ ל- $Z$. ליתר דיוק ההעתקה $p|_{p^{-1}(X\smallsetminus Z)}:p^{-1}(X\smallsetminus Z)\to X\smallsetminus Z$ המושרית מהניפוח היא איזומורפיזם. אם $Z$ דלילה זה אומר שהניפוח הוא שקילות בירציונלית.
• מודיפיקציה: העתקה נאותה שהיא גם שקילות בירציונלית נקראת מודיפיקציה. מכאן שאם $Z$ דלילה אז הניפוח הוא מודיפיקציה.
• פונקטוריאליות: הניפוח הוא פונקטוריאלי בזוג $(X,I)$ במובן הבא: בהינתן העתקה של יריעות אלגבריות $\phi :X\to Y$ ואלומת אידיאלים $I\subset O_{Y}$ אז קיימת ויחידה העתקה $\psi :Bl_{\phi ^{*}(I)}(X)\to Bl_{I}(Y)$ כך שהדיאגרמה

$${\begin{array}{ccc}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Bl_{\phi ^{*}(I)}(X)&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&Bl_{I}(Y)\\p_{(X,\phi ^{*}(I))}\downarrow &&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\downarrow p_{(Y,I)}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,X&{\stackrel {\phi }{\longrightarrow }}&Y\,\,\,\,\end{array}}$$

קומוטטיבית.

• חלקות: אם $X$ ו - $Z$ חלקות אז כך גם $Bl_{Z}(X)$.
• המחלק המיוחד: אם $X$ ו - $Z$ חלקות אז המחלק המיוחד $p_{X,Z}^{-1}(Z)$ איזומורפי לפרויקטיביזציה של האגד הנורמלי ל-$Z$ ב- $X$.
• ניפוח לאורך מחלק קרטייה: אם $Z$ הוא מחלק קרטייה ב- $X$ אז הניפוח $p_{(X,Z)}:Bl_{Z}(X)\to X$ הוא איזומורפיזם.

ניפוח לאורך מרכז חלק או חיתוך מלא

הגדרת הניפוח במקרה הכללי היא מעט אבסטרקטית ולא תמיד מפורשת. אולם במקרים פרטיים ניתן להגדיר את הניפוח בקלות יחסית ובאופן מפורש בדומה למקרה של ניפוח של מרחב אפיני לאורך נקודה שהוסבר לעיל.

ניפוח של מרחב אפיני לאורך תת-מרחב

בהינתן מרחב אפיני $X$ ותת-מרחב אפיני $Z$ ניתן לבחור משלים אפיני $L\subset X$ ל - $Z$ ולהציג את $X$ בתור המכפלה $Z\times L$. זה מאפשר להגדיר את $Bl_{Z}(X)$ בתור $Z\times BL_{x}(L)$ כאשר $x$ היא נקודת החיתוך בין $Z$ ל- $L$.

ניתן לתאר בנייה זו עם פחות בחירות. נסמן $M:=X/Z$ וב - $y\in M$ את הנקודה המתאימה ל - $Z$. נקבל העתקה $\pi :X\to M$ כך ש - $Z=\pi ^{-1}(y)$. נגדיר את $Bl_{X}(Z)$ להיות מכפלת הסיבים $X\times _{M}Bl_{y}(M)$.

ניפוח של יריעה חלקה לאורך מרכז מחתוך מלא

אם $X$ יריעה חלקה ו$Z\subset X$ תת-יריעת חיתוך מלא בתוכה (זאת אומרת תת-יריעה שמוגדרת על-ידי מספר משוואות השווה להפרש הממדים $\dim(X)-\dim(Z)$), אז אפשר להגדיר את הניפוח של $X$ לאורך $Z\subset X$ באופן הבא: תהיה $\phi :X\to \mathbb {A} ^{k}$ העתקה המורכבת מהמשוואות המגדירות את $Z$. זאת אומרת ש-$\phi$ מקיימת $Z=\phi ^{-1}(0)$. נגדיר את הניפוח $Bl_{X}(Z)$ להיות מכפלת הסיבים $X\times _{\mathbb {A} ^{k}}Bl_{0}(\mathbb {A} ^{k})$.

ניתן להראות שבנייה זו אינה תלויה בבחירת $\phi :X\to \mathbb {A} ^{k}$. דרך אחת להראות זאת היא להראות שהבנייה מקיימת את התכונות האוניברסליות שתוארו מעלה (ראו להלן). ניתן להראות זאת גם באופן ישיר, לשם כך יש לבנות איזומורפיזם בין הבניות לכל שתי בחירות של $\phi$, ולהוכיח שעבור שלוש בחירות כאלה האיזומורפיזמים שניבנו קומפטביליים.

ניפוח של יריעה חלקה לאורך מרכז מחיתוך מלא מקומית

בהינתן יריעה חלקה $X$, תת-יריעה $Z\subset X$ נקראת מחיתוך מלא מקומית אם ניתן לכסות את $X$ על ידי קבוצות פתוחות $X_{i}$ כך ש: $X_{i}\cap Z\subset X_{i}$ היא תת-יריעת חיתוך מלא (או ריקה). מכיוון שהבנייה למעלה לא תלויה בבחירות, ניתן להרחיב אותה לבנייה של ניפוח של יריעה חלקה $X$ לאורך מרכז $Z\subset X$ מחתוך מלא מקומית.

נשים לב שכל תת-יריעה חלקה של יריעה חלקה היא תת-יריעת חיתוך מלא מקומית, לכן ההגדרה כאן מאפשרת לנפח יריעה חלקה לאורך תת-יריעה חלקה.

ניפוח של יריעה אפינית לאורך מרכז חלק

אם $X\subset \mathbb {A} ^{n}$ יריעה אפינית ו$Z\subset X$ יריעה חלקה ניתן להגדיר את הניפוח של $X$ לאורך $Z$ בתור הטרנספורם ההדוק של $X\subset \mathbb {A} ^{n}$ תחת ההעתקה

$$p_{(\mathbb {A} ^{n},Z)}:BL_{Z}(\mathbb {A} ^{n})\to \mathbb {A} ^{n}$$

במילים אחרות

$$Bl_{Z}(X):={\overline {p_{\mathbb {A} ^{n},Z}^{-1}(X\smallsetminus Z)}}$$

גם כאן ניתן להוכיח שהבנייה לא תלויה בבחירת השיכון $X\subset \mathbb {A} ^{n}$, בין אם באופן ישיר ובין אם על ידי בדיקת התכונות האוניברסליות.

ניפוח של יריעה כללית לאורך מרכז חלק

מכיוון שניתן לכסות כל יריעה על ידי יריעות אפיניות, ניתן להגדיר ניפוח של יריעה כללית לאורך מרכז חלק באמצעות הגדרת הניפוח של יריעה אפינית לאורך מרכז חלק, באופן דומה למקרה המתואר מעלה.

הכלליות של ניפוח של יריעה כללית לאורך מרכז חלק היא כלליות רחבה למדי. אחד השימושים החשובים בניפוח - התרת סינגולריות - משתמש רק בכלליות זו. לכן במקרים רבים מסתפקים בהגדרת הניפוח רק עבור מקרה זה, מכיוון שההגדרה במקרה זה היא אלמנטרית ומפורשת יותר.

ניפוח של סכמות אפיניות לאורך מרכז כללי

בנייה על־ידי הספקטרום הפרויקטיבי

ההגדרה המקובלת לניפוח במקרה הכללי היא באמצעות הספקטרום הפרויקטיבי. לצורך הפשטות ננתח תחילה את המקרה של ניפוח של סכמה אפינית לאורך אידיאל. בהינתן סכמה אפינית $X$ ואידיאל $I\subset O(X)$ מתבוננים בחוג הבא

$$O(X)\oplus I\oplus I^{2}\oplus \cdots .$$

פעולת הכפל בחוג זה מוגדרת כך שמכפלה של איבר ב $I^{k}$ באיבר ב $I^{l}$ תתן את האיבר המתאים ב $I^{k+l}$. זה חוג מדורג. זאת אמרת חוג שנתון בתור סכום ישר של חבורות אבליות $A=\bigoplus A_{k}$ כאשר כפל של שני איברים ב- $A_{k}$ ו $A_{l}$ הוא איבר ב-$A_{k+l}$. ניתן להגדיר את הניפוח של $X$ לאורך $I$ בתור הספקטרום פרויקטיבי של חוג מדורג זה:

$$Bl_{I}(X)=Proj(O(X)\oplus I\oplus I^{2}\oplus \cdots )$$

הספקטרום הפרויקטיבי של חוג מדורג הוא סכמה קוואזי-פרויקטיבית שמתאימה לחוג זה. בנית הספקטרום הפרויקטיבי מקבילה לבנית הספקטרום כאשר הספקטרום הפרויקטיבי מקבל חוגים מדורגים במקום סתם חוגים ומחזיר יריעות קוואזי-פרויקטיביות במקום יריעות אפיניות. לפי הגדרת הספקטרום הפרויקטיבי אנו מקבלים העתקה פרויקטיבית: $p_{X,I}:Bl_{I}(X)\to Spec(O(X))=X$

בנייה על־ידי מנה בפעולה של החבורה הכפלית

לצורך הפשטות נתמקד כעת ביריעות אלגבריות מעל שדה $k$. ניתן לתאר את הספקטרום הפרוקיטיבי של חוג מדורג באופן הגאומטרי הבא: בהינתן חוג מדורג $A=\bigoplus _{i=0}^{\infty }A_{i}$ מעל $k$, נגדיר פעולה של החבורה הכיפלית של השדה $k$ על החוג $A$ כדלקמן: הסקלר $\lambda \in k^{\times }$ פועל על ידי

$$(a_{0},\dots a_{n},\dots )\mapsto (a_{0},\lambda a_{1},\dots ,\lambda ^{n}a_{n},\dots ).$$

פעולה זו משרה פעולה של החבורה $k^{\times }$ על הסכמה $Y=spec(A)$. קל לראות שניתן לזהות את יריעת נקודות השֶׁבֶת תחת פעולה זאת עם היריעה

$$Y_{0}:=spec(A).$$

ניתן לתאר את היריעה $Proj(A)$ בתור המנה של $Y\smallsetminus Y_{0}$ בפעולה של $k^{\times }$. תיאור זה מאפשר להציג את הניפוח של יריעה אפינית $X$ לאורך אידיאל בתור מנה של יריעה קוואזי-אפינית מסוימת $Y\smallsetminus Y_{0}$ בפעולה של $k^{\times }$.

לתיאור זה יש חיסרון: בעוד שהניפוח של יריעה חלקה לאורך תת-יריעה חלקה תמיד חלק, היריעה $Y$ המתקבלת מהבנייה למעלה כמעט לעולם אינה חלקה. לכן לעיתים מתמשים בבנייה שקולה ונוחה יותר: נגדיר

$$A_{i}={\begin{cases}O(X)&i\leq 0\\I^{i}&i\geq 0\end{cases}}$$

ו-

$${\tilde {A}}=\bigoplus A_{i}.$$

נסמן

$${\tilde {Y}}:=spec({\tilde {A}}).$$

כמו קודם, יש לנו פעולה של $k^{\times }$. נגדיר

$${\tilde {Y}}_{0}:=spec(A/I)\times \mathbb {A} ^{1}$$

ניתן לזהות באופן טבעי את ${\tilde {Y}}_{0}$ עם תת-יריעה של ${\tilde {Y}}$. ניתן גם להראות ש

$${\tilde {Y}}\smallsetminus {\tilde {Y}}_{0}\cong Y\smallsetminus Y_{0}$$

מכאן, שניתן להגדיר את הניפוח של $X$ לאורך $I$ בתור המנה של ${\tilde {Y}}\smallsetminus {\tilde {Y}}_{0}$ בפעולת החבורה $k^{\times }$. קל לראות ש $X$ חלקה, ו- $I$ הוא האידיאל המתאים לתת-יריעה חלקה של $X$ אז ${\tilde {Y}}$ חלקה.

יתרון נוסף של בנייה זו הוא שהיריעה ${\tilde {Y}}$ מענינת בפני עצמה. ניתן לראות בה משפחה חד פרמטרית של יריעות שמנוונות את היריעה $X$ לאגד הנורמלי של סכמת האפסים של $I$ בתוך $X$. באופן מפורש יותר ישנה העתקה טבעית $\pi :{\tilde {Y}}\to \mathbb {A} ^{1}$ כך שעבור כל $x\in \mathbb {A} ^{1}$ השונה מ-$0$ מתקיים $\pi ^{-1}(x)\cong X$ ואילו $\pi ^{-1}(0)$ איזומורפי לאגד הנורמלי של סכמת האפסים של $I$ בתוך $X$. יתר על כן, פעולת החבורה $k^{\times }$ מתאימה לפעולה הסטנדרטית של חבורה זו על $\mathbb {A} ^{1}$ תחת ההעתקה $\pi$.

הוכחת התקיימות התכונה האוניברסלית

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

ניפוח במקרה הכללי

עבור סכמה לא אפינית, ההגדרה דומה, רק שמחליפים את האידיאל באלומת אידיאלים. ההגדרה המקובלת לניפוח של סכמה לאורך אלומת אידיאלים היא באמצעות הספקטרום הפרויקטיבי. בהינתן סכמה $X$ ואלומת אידיאלים ${\mathcal {I}}\subset O_{X}$ מתבוננים באלומת החוגים המדורגת הבאה

$$O_{X}\oplus {\mathcal {I}}\oplus {\mathcal {I}}^{2}\oplus \cdots .$$

מגדירים את הניפוח של $X$ לאורך ${\mathcal {I}}$ להיות הספקטרום הפרויקטיבי של אלומת חוגים מדורג זאת מעל הסכמה $X$. דהינו:

$$Bl_{\mathcal {I}}(X):=Proj_{X}(O_{X}\oplus {\mathcal {I}}\oplus {\mathcal {I}}^{2}\oplus \cdots ).$$

באופן גאומטרי, ניתן להבין בנייה זו בצורה הבאה: מכסים את $X$ על ידי יריעות אפיניות פתוחות $U_{i}$, מנפחים כל אחת מהיריעות $U_{i}$ לאורך ${\mathcal {I}}(U_{i})$, ומדביקים את התוצאות ליריעה אחת.

גם את יתר הבניות בפרק הקודם ניתן להתאים בקלות למקרה הלא אפיני.

דוגמאות

• הניפוח של כל יריעה/סכמה לאורך עצמה הוא הקבוצה הריקה.
• הניפוח של כל יריעה/סכמה לאורך הקבוצה הריקה הוא היריעה עצמה.
• הניפוח של עקום חלק לאורך נקודה שלו לא משנה את העקום.
  • באופן כללי יותר, הניפוח של יריעה חלקה מממד $n$ לאורך תת-יריעה חלקה מממד $n-1$ לא משנה את היריעה (הגדולה).
    • באופן כללי עוד יותר, הניפוח של יריעה לאורך מחלק קרטיה אינו משנה את היריעה.
• הניפוח של הצלב (היריעה הנתונה על ידי המשוואה $xy=0$) לאורך הראשית הוא יריעה המורכבת מאיחוד זר (בילתי קשיר) של 2 ישרים.
• הניפוח של עקום נודלי (לדוגמה, העקום הנתון על ידי המשוואה $y^{2}=x^{2}(x-1)$) לאורך הנקודה הסינגולרית שלו (בדוגמה - הראשית) הוא ישר.
• הניפוח של עקום קספידלי (לדוגמה, העקום הנתון על ידי המשוואה $y^{2}=x^{3}$) לאורך הנקודה הסינגולרית שלו (בדוגמה - הראשית) הוא ישר.
  • באופן כללי יותר, הניפוח של עקום קספידלי ממעלה $n\geq 3$ (לדוגמה, העקום הנתון על ידי המשוואה $y^{2}=x^{n}$) לאורך הנקודה הסינגולרית שלו (בדוגמה - הראשית) הוא עקום קספידלי ממעלה $n-2$.
• הניפוח של מישור לאורך הראשית הוא (המרחב הטוטלי של) אגד קוי מעל הישר הפרויקטיבי.
  • באופן כללי יותר, הניפוח של מרחב ליניארי מממד $n$ לאורך הראשית הוא (המרחב הטוטלי של) אגד קוי מעל המרחב הפרויקטיבי מממד $n-1$.
• הניפוח של הקונוס הריבועי (היריעה הנתונה על ידי המשוואה $z^{2}=x^{2}+y^{2}$) הוא (המרחב הטוטלי של) אגד קוי מעל הישר הפרויקטיבי.

התרת סינגולריות

כפי שניתן לראות מהדוגמאות למעלה, ניפוח של יריעה לא חלקה $X$ לאורך תת-יריעה חלקה שלה (שמוכלת בקבוצת הנקודות הסינגולריות של $X$), הופכת את $X$ במקרים רבים לירעה "חלקה יותר". זריציקי שיער שניתן להפוך כל יריעה $X_{0}$ ליריעה חלקה באמצעות התהליך הבא:

• בוחרים (באופן מושכל) תת-יריעה סגורה וחלקה $Z_{0}\subset X_{0}$ שמוכלת בקבוצת הנקודות הסינגולריות של $X_{0}$ ומנפחים את $X_{0}$ לאורך $Z_{0}$.
• מסמנים את היריעה המתקבלת ב - $X_{1}$.
• חוזרים על התהליך עם היריעה $X_{1}$ במקום $X_{0}$.
• מבצעים את התהליך מספר פעמים עד שמתקבלת יריעה חלקה $X_{n}$.

תהליך זה נקרא התרת סינגולריות. ההעתקה $X_{n}\to X_{0}$ היא מודיפיקציה, כיוון שהיא הרכבה של מודיפיקציות.

זריציקי הוכיח שתהליך כזה אפשרי עבור יריעות מממד $2$ ומטה מעל שדות ממציין $0$. בשנת 1964, הוכיח תלמידו של זריצקי הייסוקה הירונקה את קיומה של התרת סינגולריות מעל שדה ממציין $0$ לכל ממד. תוצאה זו נחשבת לאחת התוצאת המרכזיות של הגאומטריה האלגברית במאה ה-20. התוצאה (על גרסאותיה השונות) שימושית מאוד בגאומטריה אלגברית ומחוצה לה. ההוכחה המקורית של הירונקה הייתה מורכבת ביותר וקשה להבנה. במרוצת השנים מספר מתמטיקאים פיתחו הוכחות נוספות. ההוכחות המודרניות נחשבות על ידי המומחים כהוכחות פשוטות יחסית, אם כי מדובר עדיין בהוכחות מתוחכמות ומורכבות.

קיום התרת סינגולריות עבור מציין שונה מ-0 בממדים 1, 2, ו-3 הוכחה על ידי מספר מתמטיקאים לאורך השנים. בעיית קיום התרת סינגולריות עבור מציין שונה מ-0 עודנה פתוחה.

לעיתים משתמשים במושג התרת סינגולריות באופן רחב יותר. כל מודיפיקציה ${\tilde {X}}\to X$ כאשר ${\tilde {X}}$ יריעה חלקה נקראת לפעמים התרת סינגולריות של $X$. יש שיטות לבנית התרת סינגולריות במובן זה שאינן מתבססות על ניפוחים בילבד. לדוגמה הנורמליזציה של יריעה היא מודיפיקציה שלה והיא "יותר חלקה" מהיריעה עצמה. לכן אפשר להשתמש בנורמליזציה לצד ניפוח כשלב בהתרת סינגולריות. כך לדוגמה ההוכחה המקורית של זריציקי לקייום התרת סינגולריות של משטחים התבססה על ניפוח ונורמליזציה לסירוגין.

בשורה התחתונה ההבדל בין התרת סינגולריות המבוססת על ניפוח והתרת סינגולריות כללית יותר איננו מהותי: מבחינת שימושים אין יתרון גדול להתרות המבוססות על ניפוח, ומאידך בכל המקרים בהם ידועה התרת סינגולריות כללית, ידועה גם התרת סינגולריות המבוססת על ניפוח באופן בלעדי. כמעט כל בנייה של התרת סינגולריות מבוססת על ניפוח במידה זו או אחרת.

ניפוח ממושקל

בהינתן סכמה אפינית $X$ ופילטרציה יורדת של אידיאלים בחוג $O(X)$ (זאת אומרת סדרה של אידיאלים $I_{n}$ המקימים $I_{0}=O(X)$ ו - $I_{n}I_{k}\subset I_{n+k}$) ניתן להגדיר את הניפוח הממושקל של $X$ ביחס לפילטרציה זו באופן דומה להגדרת הניפוח למעלה כאשר את התפקיד של $I^{n}$ מחליף $I_{n}$. בנייה זו מכלילה את הבנייה למעלה מכיוון שעבור אידיאל $I$ סדרת האידיאלים $I_{n}:=I^{n}$ מהווה פילטרציה יורדת.

דוגמה נפוצה לפילטרציה יורדת מתקבלת מבחירת יוצרים $x_{1},\dots ,x_{n}\in O(X)$ ומספר טבעי $n_{i}$ עבור כל אחד מהיוצרים. מספר זה נקרא המשקל של היוצר. משקל של מכפלה של מספר יוצרים מוגדר בתור סכום משקלי היוצרים המופיעים במכפלה. משקל של איבר כללי $a\in O(X)$ מוגדר להיות המספר המינימלי $w$ כך שאפשר לרשום את $a$ כסכום של מכפלות יוצרים שמשקליהן לא עולים על $w$. מגדירים את $I_{n}$ להיות אוסף כל האיברים שמשקלם לפחות $n$. ניתן לקבל את הדוגמה $I_{n}:=I^{n}$ כאשר כל המשקלים של היוצרים הנבחרים הם 0 או 1.

הניפוח הממושקל יותר כללי מהניפוח אבל תכונותיו דומות בעיקרן לניפוח. זה הופך אותו לכלי שימושי, במקרים בהם קשה למצא ניפוח רגיל מתאים.

הניפוח הממושקל כסטאק אלגברי

אם משתמשים בבנית הניפוח כמנה בפעולה של החבורה הכיפלית במקרה של ניפוח ממושקל, אז שמים לב שלעיתים הפעולה איננה חופשית. לכן, במקום לחשוב על המנה כיריעה אלגברית (או סכמה), ניתן לחשוב עליה כעל סטאק אלגברי. התכונות של המנה כסטאק אלגברי שונות מאלו של המנה כיריעה. לדוגמה, במקרים מסוימים המנה כסטאק אלגברי חלקה, בעוד שהמנה כיריעה איננה חלקה.

הניפוח הממשקל והתרת סינגולריות

חלק מההוכחות המודרניות לקיום התרת סינגולריות מבוססות על הניפוח הממושקל. בניות אלו בדרך כלל יותר פשוטות, ישירות ויעילות מהבניות הקלאסיות שמשתמשות רק בניפוח רגיל. אולם לתהליך התרת הסינגולריות על ידי ניפוח ממושקל יש סיבוך שאין בתהליך הרגיל: יש לבצע את הניפוחים הממושקלים בתור סטאקים אלגבריים ולא כיריעות. כך מקבלים בסופו של דבר סטאק אלגברי חלק. אולם היריעה המתאימה לסטאק זה היא לאו דווקא חלקה. עם זאת תכונות הסינגולריות של ירעות שמתקבלות כך הן פשוטות למדי. יריעות כאלה נקראות יריעות טורואידליות. התרת סינגולריות של יריעות טורואידליות היא משימה קומבינטורית פשוטה יחסית והיא מסיימת את תהליך התרת הסינגולריות המבוססות על הניפוח הממושקל. תהליך זה הוא דוגמה להתרת סינגולריות במובן רחב יותר שלא מבוסס באופן בלעדי על ניפוח.

ראו גם

• התרת סינגולריות
• קואורדינטות קוטביות
• מודיפיקציה

לקריאה נוספת

• Kempf. Algebraic Varieties.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.

קישורים חיצוניים

• ניפוח ב-StacksProject.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

39390890ניפוח (גאומטריה אלגברית)