מרחב אי-פריק
בערך זה |
מרחב אי-פריק X הוא מרחב טופולוגי לא ריק ($ X\neq \emptyset $) שלא ניתן להציגו כאיחוד של שתי תת-קבוצות סגורות החלקיות ממש ל-X. מושג האי-פריקות שימושי במיוחד בגאומטריה אלגברית, בה נחקרות יריעות אלגבריות עם טופולוגיית זריצקי.
הגדרה
יהי $ X\neq \emptyset $ מרחב טופולוגי. נאמר ש-X הוא אי-פריק (Irreducible) אם מתקיימת אחת מהתכונות הבאות (שהן שקולות):
- X איננו איחוד של שתי תת-קבוצות סגורות השונות ממש מ-X.
- כל שתי תת-קבוצות פתוחות לא ריקות נחתכות לקבוצה לא ריקה.
- כל תת-קבוצה פתוחה של X שאינה ריקה היא צפופה ב-X.
אם אחת מהתכונות מתקיימת, כולן מתקיימות. תכונה 1 שקולה לתכונה 2 על ידי לקיחת משלים של קבוצות ביחס ל-X. תכונה 3 היא בעצם ניסוח אחר של תכונה 2.
תת-קבוצה $ M\subset X $ תיקרא אי-פריקה אם היא אי-פריקה בטופולוגיה המושרית כתת-מרחב של X.
תכונות
- אם M היא קבוצה אי-פריקה אזי M היא קבוצה קשירה.
- $ M\subset X $ היא אי-פריקה אם"ם $ {\overline {M}}\subset X $ היא אי-פריקה.
מרכיב אי-פריק
תת-קבוצה אי-פריקה מקסימלית ב-X נקראת מרכיב אי-פריק (או רכיב אי-פריק). מההגדרה והתכונה שהוזכרה לעיל נובע שמרכיב אי-פריק הוא קבוצה סגורה (אחרת $ M\subset {\overline {M}} $ ו-M לא מקסימלית).
אם X הוא מרחב נתר אזי ל-X יש מספר סופי של מרכיבים אי-פריקים $ X_{1},...,X_{n} $ והם מקיימים $ X=X_{1}\cup ...\cup X_{n} $. בנוסף, כל תת-קבוצה אי-פריקה של X מוכלת באחד ממרכיבים אלה.
שימושים
בגאומטריה אלגברית קלאסית חוקרים יריעות אלגבריות, מדובר בקבוצות מהצורה
- $ {\mathcal {V}}(I)=\left\{x\in k^{n}|\forall f\in I:f(x)=0\right\} $
כאשר $ I $ הוא אידיאל ב-$ k[x_{1},...,x_{n}] $, חוג הפולינומים מעל שדה סגור אלגברית k. כאן, $ X=k^{n} $ עם טופולוגיית זריצקי. בטופולוגיה זו, כל הקבוצות מהצורה $ {\mathcal {V}}(I) $ מוגדרות להיות הקבוצות הסגורות, ואלה נקראות גם "קבוצות אלגבריות". קבוצה אלגברית $ {\mathcal {V}}(I) $ היא אי-פריקה אם ורק אם הרדיקל של האידיאל $ I $ (כלומר $ {\sqrt {I}}=\left\{f\in k[x_{1},...,x_{n}]\ |\exists n\geq 1:f^{n}\in I\right\} $) הוא אידיאל ראשוני.
דוגמאות
- יהי k שדה סגור אלגברית. אזי k אי-פריק בטופולוגיית זריצקי, ובפרט קשיר.
- באופן כללי יותר, גם $ k^{n}\cong \mathrm {Max} (k[X_{1},...,X_{n}]) $ הוא אי-פריק בטופולוגיית זריצקי.
מרחב אי-פריק24380677Q1673182