חבורה אלגברית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

חבורה אלגברית $G$ היא אובייקט שהוא בו זמנית גם חבורה וגם יריעה אלגברית, כך שההעתקות

• הכפל: $m:G\times G\to G$, המוגדרת על ידי $(g,h)\mapsto gh$,
• וההפכי: $i:G\to G$, המוגדרת על ידי $g\mapsto g^{-1}$,

הן מורפיזמים (העתקות רגולריות) של יריעות אלגבריות.

יריעות אלגבריות מצוידות בטופולוגיית זריצקי, ההופכת כל חבורה אלגברית לחבורה טופולוגית. אולם טופולוגיה זו לא מבטאת את המבנה הגאומטרי של החבורה. לעומת זאת אם על השדה $k$ מעליו מוגדרת החבורה נתונה טופולוגיה (למשל כאשר $k=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$) אז אנו מקבלים טופולוגיה עדינה יותר על החבורה $G$ (או ליתר דיוק על קבוצת ה $k$-נקודות שלה $G(k)$). אם המציין של $k$ הוא 0, אז ניתן להראות ש G יריעה חלקה, ולכן, כאשר $k=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$, על $G(k)$ יש מבנה של חבורות לי.

דוגמאות

• כל חבורה סופית היא חבורה אלגברית עם הטופולוגיה הדיסקרטית.
• עקומים אליפטיים: עקום במרחב הפרויקטיבי עליו מוגדרת פעולת חבורה.
• החבורה החיבורית: $\mathbf {G} _{a}=(k,+)$.
• החבורה הכפלית: $\mathbf {G} _{m}=(k^{\times },\cdot )$.
• הדוגמאות השימושיות והחשובות ביותר - חבורות אלגבריות ליניאריות: החבורה הליניארית הכללית $\mathbf {GL} (n,k)$ - חבורת המטריצות ההפיכות מסדר $n\times n$ מעל שדה k.
• תת-החבורות האלגבריות שלה: $\mathbf {SL} (n,k)$ (מטריצות בעלות דטרמיננטה 1) $\mathbf {O} (n)$ (מטריצות אורתוגונליות), $\mathbf {SO} (n)$ (מטריצות אורתוגונליות עם דטרמיננטה 1), $\mathbf {U} (n)$ (מטריצות אוניטריות) ועוד.
• טורוס: $T=\mathbf {D} (n,k)\cong (k^{\times })\times ...\times (k^{\times })$ חבורת המטריצות האלכסוניות ההפיכות מסדר n.

כל שיכון של חבורה אלגברית בחבורה $\mathbf {GL} (n,k)$ נקרא "הצגה ליניארית" של החבורה. חבורה אלגברית שקיימת לה הצגה נאמנה כתת-חבורה סגורה של $\mathbf {GL} (n,k)$ נקראת חבורה אלגברית ליניארית או "חבורה אלגברית אפינית".

הדרגה של חבורה אלגברית חוסמת את רמת המורכבות שלה. לפי משפט קלאסי של קמיל ז'ורדן, לכל n יש קבוע N כך שלכל תת-חבורה של $\ \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ יש תת-חבורה נורמלית אבלית מאינדקס N לכל היותר.

דוגמה מפורטת

נראה דוגמה מפורטת של חבורה אלגברית: $G=\mathbf {GL} (2,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {M} _{2}(\mathbb {C} )\mid \det A\neq 0\right\}$.

• זו חבורה עם הפעולה של כפל מטריצות.
• זו יריעה אלגברית, שניתן להציגה כיריעה הסגורה $\left\{(a,b,c,d,t)\mid (ad-bc)t=1\right\}$ כאשר אנו מזהים כל מטריצה כ-$A=\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)$ ואז $\det A=ad-bc$; קיומו של מספר t כך ש-$(\det A)t=(ad-bc)t=1$ שקול לכך ש-$\det A\neq 0$. הפונקציות הרגולריות הבסיסיות על יריעה זו הן $X_{ij}$ המחזירות את הקואורדינטה בשורה ה-i ובעמודה ה-j במטריצה A, וכן הפונקציה ${\frac {1}{\det A}}=(X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21})^{-1}$ (למעשה זו הפונקציה שמחזירה את ה"קואורדינטה" t).
• יהיו $A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right)$ ו-$B=\left({\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{matrix}}\right)$, אז למשל $X_{11}(A\cdot B)=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=X_{11}(A)X_{11}(B)+X_{12}(A)X_{21}(B)$ ולכן כפל מטריצות הפיכות היא העתקה רגולרית.
• $\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}\left({\begin{matrix}d&-b\\-c&a\end{matrix}}\right)$ וקל לראות שגם זו פונקציה רגולרית (השבר שכופל את המטריצה שווה לאחד חלקי הדטרמיננטה ולכן הוא פונקציה רגולרית!), ומכאן שגם פונקציית ההפכי רגולרית.

בסך בכל נובע ש-G היא חבורה שהיא גם יריעה אלגברית כך שפעולות הכפל וההפכי הן פונקציות רגולריות ולכן היא חבורה אלגברית.

קשרים בין חבורות

תת-חבורה אלגברית H של חבורה אלגברית G היא תת-חבורה מופשטת, שמהווה גם תת-יריעה של G והיא סגורה בטופולוגיית זריצקי. ניתן להגדיר גם את המנה $G/H$. אם H היא תת-חבורה אלגברית של G אז למרחב הקוסטים G/H קיים מבנה יחיד של יריעה קווזי-פרויקטיבית שעבורו הפעולה של G על G/H היא רגולרית (למעשה, ניתן לזהות את H, כמייצב של וקטור במרחב פרויקטיבי שעליו פועלת G). אם G היא אפינית ו H תת-חבורה נורמלית אז המנה G/H היא חבורת מנה אפינית - כלומר: חבורה אלגברית ויריעה אלגברית אפינית.

סוגים של חבורות

חבורה אלגברית G נקראת "אי-פריקה" אם כיריעה היא יריעה אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי. עבור חבורה אלגברית ניתן להראות ש-G היא אי-פריקה אם ורק אם היא קשירה (בטופולוגיית זריצקי). לכן עבור חבורות אלגבריות בדרך כלל משתמשים במינוחים חבורות קשירות וחבורות אי-פריקות לחלופין. לעומת זאת, יש מתמטיקאים שמשתמשים במונח "אי-פריקות" ביחס לטופולוגיית זריצקי ואילו במונח "קשירות" ביחס לטופולוגיה המוגדרת על ידי הטופולוגיה על השדה $k$ (בעיקר במקרים $k=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$).

חבורה נקראת אפינית, אם היא אפינית כיריעה אלגברית. ניותן להראות כי במקרה זה היא ניתנת לשיכון (כתת-חבורה) ב $\mathbf {GL} _{N}$ (עבור איזה שהוא $N$ טבעי). לכן קראים לחבורות כאילו גם חבורות ליניאריות.

חבורה אלגברית אפינית G היא בפרט יריעה אלגברית אפינית שהיא מרחב טופולוגי נתרי ולכן יש לה מספר סופי של מרכיבים אי-פריקים. הרכיב האי-פריק של G המכיל את איבר היחידה מסומן $G^{0}$ ונקרא identity component. הרכיב הקשיר של איבר היחידה $G^{0}$ הוא תת-חבורה נורמלית סגורה של G.

חבורה ליניאריות G נקראת פתירה אם קיימת סדרה יורדת של תת-חבורות נורמליות ב-G כך שהמנות העוקבות הן חבורות קומוטטיביות (בדומה למושג המקביל בתורת החבורות).

הרדיקל (הפתיר) של חבורה ליניארית היא הרכיב הקשיר של איבר היחידה של תת-החבורה הנורמלית הפתירה המקסימלית שלה. חבורה ליניארית קשירה נקראת פשוטה-למחצה אם הרדיקל הפתיר שלה טריביאלי.

הרדיקל האוניפוטנטי של חבורה ליניארית הוא תת-החבורה האוניפוטנטית הגדולה ביותר של הרדיקל הפתיר. חבורה ליניארית שהרדיקל האוניפוטנטי שלה טריוויאלי נקראת חבורה רדוקטיבית. כל חבורה פשוטה-למחצה היא רדוקטיבית.

חבורה ליניארית קשירה G נקראת פשוטה אם היא לא קומוטטיבית וגם אין לה תת-חבורות נורמליות קשירות סגורות לא טריוויאליות. היא נקראת כמעט פשוטה אם יש לה מרכז סופי Z והחבורה G/Z היא פשוטה.

ראו גם

סוגים של חבורות אלגבריות

• חבורה אלגברית ליניארית
  • חבורה רדוקטיבית
    • טורוס (חבורה אלגברית)
      • החבורה הכפלית
    • חבורה אלגברית פשוטה למחצה
      • חבורה אלגברית פשוטה
  • חבורה יוניפוטנטית
    • החבורה החיבורית
• יריעה אבלית
  • עקום אליפטי

מושגים קשורים

• אובייקט חבורתי
  • חבורה טופולוגית
  • חבורת לי
  • סכמת חבורה
  • אלגברת הופף
• אלגברת לי
• תורת האינווריאנטים הגאומטרית

לקריאה נוספת

• Chevalley, Claude (1958), Classification des groupes de Lie algébriques, Paris: Secrétariat Mathématique

חבורות ליניאריות

• Humphreys, James E. (1972), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 21, Springer-Verlag, Berlin, New York, מסת"ב 978-0-387-90108-4
• Milne, J. S., Affine Group Schemes; Lie Algebras; Lie Groups; Reductive Groups; Arithmetic Subgroups
• Springer, Tonny A. (1998), Linear algebraic groups, Progress in Mathematics, vol. 9 (2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, מסת"ב 978-0-8176-4021-7
• Waterhouse, William C. (1979), Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 66, Berlin, New York: Springer-Verlag, מסת"ב 978-0-387-90421-4

יריעות אבליות

• Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford University Press, מסת"ב 978-0-19-560528-0
• Lang, Serge (1983), Abelian varieties, Berlin, New York: Springer-Verlag, מסת"ב 978-0-387-90875-5
• Weil, André (1971), Courbes algébriques et variétés abéliennes, Hermann, Paris

קישורים חיצוניים

• הגדרות ומונחים בחבורות אלגבריות

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

33546009חבורה אלגברית