חבורה אלגברית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

חבורה אלגברית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} היא אובייקט שהוא בו זמנית גם חבורה וגם יריעה אלגברית, כך שההעתקות

• הכפל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m : G \times G \to G } , המוגדרת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (g,h) \mapsto gh} ,
• וההפכי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i : G \to G} , המוגדרת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g \mapsto g^{-1}} ,

הן מורפיזמים (העתקות רגולריות) של יריעות אלגבריות.

יריעות אלגבריות מצוידות בטופולוגיית זריצקי, ההופכת כל חבורה אלגברית לחבורה טופולוגית. אולם טופולוגיה זו לא מבטאת את המבנה הגאומטרי של החבורה. לעומת זאת אם על השדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} מעליו מוגדרת החבורה נתונה טופולוגיה (למשל כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=\R,\Complex} ) אז אנו מקבלים טופולוגיה עדינה יותר על החבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} (או ליתר דיוק על קבוצת ה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} -נקודות שלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(k)} ). אם המציין של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} הוא 0, אז ניתן להראות ש G יריעה חלקה, ולכן, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=\R,\Complex} , על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(k)} יש מבנה של חבורות לי.

דוגמאות

• כל חבורה סופית היא חבורה אלגברית עם הטופולוגיה הדיסקרטית.
• עקומים אליפטיים: עקום במרחב הפרויקטיבי עליו מוגדרת פעולת חבורה.
• החבורה החיבורית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{G}_a = (k, +)} .
• החבורה הכפלית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{G}_m = (k^\times, \cdot)} .
• הדוגמאות השימושיות והחשובות ביותר - חבורות אלגבריות ליניאריות: החבורה הליניארית הכללית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{GL}(n,k)} - חבורת המטריצות ההפיכות מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \times n} מעל שדה k.
• תת-החבורות האלגבריות שלה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{SL}(n,k)} (מטריצות בעלות דטרמיננטה 1) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{O}(n)} (מטריצות אורתוגונליות), הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{SO}(n)} (מטריצות אורתוגונליות עם דטרמיננטה 1), הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{U}(n)} (מטריצות אוניטריות) ועוד.
• טורוס: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T = \mathbf{D}(n,k) \cong (k^\times) \times ... \times (k^\times)} חבורת המטריצות האלכסוניות ההפיכות מסדר n.

כל שיכון של חבורה אלגברית בחבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{GL}(n,k)} נקרא "הצגה ליניארית" של החבורה. חבורה אלגברית שקיימת לה הצגה נאמנה כתת-חבורה סגורה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{GL}(n,k)} נקראת חבורה אלגברית ליניארית או "חבורה אלגברית אפינית".

הדרגה של חבורה אלגברית חוסמת את רמת המורכבות שלה. לפי משפט קלאסי של קמיל ז'ורדן, לכל n יש קבוע N כך שלכל תת-חבורה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})} יש תת-חבורה נורמלית אבלית מאינדקס N לכל היותר.

דוגמה מפורטת

נראה דוגמה מפורטת של חבורה אלגברית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G = \mathbf{GL}(2,\mathbb{C}) = \left\{ A \in \mathrm{M}_2(\mathbb{C}) \mid \det A \ne 0 \right\}} .

• זו חבורה עם הפעולה של כפל מטריצות.
• זו יריעה אלגברית, שניתן להציגה כיריעה הסגורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ (a, b, c, d, t) \mid (ad-bc)t=1 \right\}} כאשר אנו מזהים כל מטריצה כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)} ואז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det A = ad - bc} ; קיומו של מספר t כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\det A)t = (ad-bc)t=1} שקול לכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det A \ne 0} . הפונקציות הרגולריות הבסיסיות על יריעה זו הן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_{ij}} המחזירות את הקואורדינטה בשורה ה-i ובעמודה ה-j במטריצה A, וכן הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\det A} = ( X_{11} X_{22} - X_{12} X_{21} )^{-1}} (למעשה זו הפונקציה שמחזירה את ה"קואורדינטה" t).
• יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B= \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} \right)} , אז למשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_{11}(A \cdot B) = a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} = X_{11}(A)X_{11}(B) + X_{12}(A) X_{21}(B)} ולכן כפל מטריצות הפיכות היא העתקה רגולרית.
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right)} וקל לראות שגם זו פונקציה רגולרית (השבר שכופל את המטריצה שווה לאחד חלקי הדטרמיננטה ולכן הוא פונקציה רגולרית!), ומכאן שגם פונקציית ההפכי רגולרית.

בסך בכל נובע ש-G היא חבורה שהיא גם יריעה אלגברית כך שפעולות הכפל וההפכי הן פונקציות רגולריות ולכן היא חבורה אלגברית.

קשרים בין חבורות

תת-חבורה אלגברית H של חבורה אלגברית G היא תת-חבורה מופשטת, שמהווה גם תת-יריעה של G והיא סגורה בטופולוגיית זריצקי. ניתן להגדיר גם את המנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G/H} . אם H היא תת-חבורה אלגברית של G אז למרחב הקוסטים G/H קיים מבנה יחיד של יריעה קווזי-פרויקטיבית שעבורו הפעולה של G על G/H היא רגולרית (למעשה, ניתן לזהות את H, כמייצב של וקטור במרחב פרויקטיבי שעליו פועלת G). אם G היא אפינית ו H תת-חבורה נורמלית אז המנה G/H היא חבורת מנה אפינית - כלומר: חבורה אלגברית ויריעה אלגברית אפינית.

סוגים של חבורות

חבורה אלגברית G נקראת "אי-פריקה" אם כיריעה היא יריעה אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי. עבור חבורה אלגברית ניתן להראות ש-G היא אי-פריקה אם ורק אם היא קשירה (בטופולוגיית זריצקי). לכן עבור חבורות אלגבריות בדרך כלל משתמשים במינוחים חבורות קשירות וחבורות אי-פריקות לחלופין. לעומת זאת, יש מתמטיקאים שמשתמשים במונח "אי-פריקות" ביחס לטופולוגיית זריצקי ואילו במונח "קשירות" ביחס לטופולוגיה המוגדרת על ידי הטופולוגיה על השדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} (בעיקר במקרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=\R,\Complex} ).

חבורה נקראת אפינית, אם היא אפינית כיריעה אלגברית. ניותן להראות כי במקרה זה היא ניתנת לשיכון (כתת-חבורה) ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{GL}_N} (עבור איזה שהוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} טבעי). לכן קראים לחבורות כאילו גם חבורות ליניאריות.

חבורה אלגברית אפינית G היא בפרט יריעה אלגברית אפינית שהיא מרחב טופולוגי נתרי ולכן יש לה מספר סופי של מרכיבים אי-פריקים. הרכיב האי-פריק של G המכיל את איבר היחידה מסומן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^0} ונקרא identity component. הרכיב הקשיר של איבר היחידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^0} הוא תת-חבורה נורמלית סגורה של G.

חבורה ליניאריות G נקראת פתירה אם קיימת סדרה יורדת של תת-חבורות נורמליות ב-G כך שהמנות העוקבות הן חבורות קומוטטיביות (בדומה למושג המקביל בתורת החבורות).

הרדיקל (הפתיר) של חבורה ליניארית היא הרכיב הקשיר של איבר היחידה של תת-החבורה הנורמלית הפתירה המקסימלית שלה. חבורה ליניארית קשירה נקראת פשוטה-למחצה אם הרדיקל הפתיר שלה טריביאלי.

הרדיקל האוניפוטנטי של חבורה ליניארית הוא תת-החבורה האוניפוטנטית הגדולה ביותר של הרדיקל הפתיר. חבורה ליניארית שהרדיקל האוניפוטנטי שלה טריוויאלי נקראת חבורה רדוקטיבית. כל חבורה פשוטה-למחצה היא רדוקטיבית.

חבורה ליניארית קשירה G נקראת פשוטה אם היא לא קומוטטיבית וגם אין לה תת-חבורות נורמליות קשירות סגורות לא טריוויאליות. היא נקראת כמעט פשוטה אם יש לה מרכז סופי Z והחבורה G/Z היא פשוטה.

ראו גם

סוגים של חבורות אלגבריות

• חבורה אלגברית ליניארית
  • חבורה רדוקטיבית
    • טורוס (חבורה אלגברית)
      • החבורה הכפלית
    • חבורה אלגברית פשוטה למחצה
      • חבורה אלגברית פשוטה
  • חבורה יוניפוטנטית
    • החבורה החיבורית
• יריעה אבלית
  • עקום אליפטי

מושגים קשורים

• אובייקט חבורתי
  • חבורה טופולוגית
  • חבורת לי
  • סכמת חבורה
  • אלגברת הופף
• אלגברת לי
• תורת האינווריאנטים הגאומטרית

לקריאה נוספת

• Chevalley, Claude (1958), Classification des groupes de Lie algébriques, Paris: Secrétariat Mathématique

חבורות ליניאריות

• Humphreys, James E. (1972), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 21, Springer-Verlag, Berlin, New York, מסת"ב 978-0-387-90108-4
• Milne, J. S., Affine Group Schemes; Lie Algebras; Lie Groups; Reductive Groups; Arithmetic Subgroups
• Springer, Tonny A. (1998), Linear algebraic groups, Progress in Mathematics, vol. 9 (2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, מסת"ב 978-0-8176-4021-7
• Waterhouse, William C. (1979), Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 66, Berlin, New York: Springer-Verlag, מסת"ב 978-0-387-90421-4

יריעות אבליות

• Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford University Press, מסת"ב 978-0-19-560528-0
• Lang, Serge (1983), Abelian varieties, Berlin, New York: Springer-Verlag, מסת"ב 978-0-387-90875-5
• Weil, André (1971), Courbes algébriques et variétés abéliennes, Hermann, Paris

קישורים חיצוניים

• הגדרות ומונחים בחבורות אלגבריות

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

חבורה אלגברית33546009Q1695400