נקודת שבת
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
במתמטיקה, נקודת שֶׁבֶת של פונקציה היא נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה אשר תמונתה היא הנקודה עצמה, כלומר אם $ f(x) $ היא פונקציה אז הנקודה $ x_{0} $ היא נקודת שבת אם מתקיים $ f(x_{0})=x_{0} $.
דוגמאות
- עבור הפונקציה $ f(x)=2x $, הערך $ x=0 $, הוא נקודת שבת (היחידה), הואיל ו- $ f(0)=2\cdot 0=0 $ (וזהו הפתרון היחיד למשוואה $ 2x=x $).
- נקודה שאינה משנה את מיקומה כתוצאה מטרנספורמציה מרחבית. לדוגמה: בסיבוב של כדור סביב צירו, הנקודות הנמצאות על הציר נותרות במקומן, והן נקודות שבת.
- נקודות שבת "מעניינות" של פונקציה הן כאלו שאם מפעילים את הפונקציה על ערך מסוים, אחר מפעילים אותה שוב על הערך שהתקבל וכן הלאה, הולכים ומתקרבים לנקודת השבת. בניסוח פורמלי: אם עבור בחירה של $ x $ הקרוב מספיק לנקודת השבת $ x_{0} $, מתקיים $ \lim _{n\to \infty }f^{n}(x)=x_{0} $ (כאן $ f^{2}(x)=f(f(x)) $ וכדומה). נקודת שבת כזו נקראת נקודת שבת יציבה.
משפטים הקשורים בנקודות שבת
- אם $ f\colon [a,b]\to [a,b] $ פונקציה רציפה אז יש לה נקודת שבת בקטע $ [a,b] $.
- משפט ההעתקה המכווצת על הישר הממשי: תהי $ f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} $. אם קיים קבוע $ K<1 $ כך ש-$ |f(x)-f(y)|<K|x-y| $ לכל $ x,y\in \mathbb {R} $, אזי יש ל-$ f $ נקודת שבת אחת ויחידה.
- הרחבה של המשפט הקודם למרחב מטרי שלם כלשהו: משפט נקודת השבת של בנך נותן תנאי מספיק כדי שלפונקציה תהיה נקודת שבת אחת ויחידה, ומאפשר למצוא אותה על ידי הפעלה חוזרת של הפונקציה כמתואר לעיל.
- הרחבה של המשפט הקודם לקבוצה קומפקטית וקמורה ב-$ \mathbb {R} ^{n} $ הוא משפט נקודת השבת של בראואר, המוכיח קיום של נקודת שבת במצבים מסוימים, אך לא מראה דרך מעשית למצוא אותה.
- משפט נקודת השבת של קנסטר-טרסקי: לכל העתקה מונוטונית עולה מסריג שלם לעצמו יש נקודת שבת (משפט 1 במאמר משנת 1955 של טרסקי [1], שם, בעמוד השני למאמר, בהערת שוליים מספר 2, טרסקי מצטט מאמר של קנסטר [2] משנת 1928 בו הופיעה תוצאה מוקדמת יותר, שטרסקי טוען שהיא הושגה בשנת 1927 על ידו ועל ידי קנסטר).
- אם $ f $ פונקציה חד-חד-ערכית ועל ו-$ x_{0} $ נקודת שבת של $ f $, אז היא גם נקודת שבת של $ f^{-1} $.
- אם $ x_{0} $ נקודת שבת של $ f $ ושל $ g $, אז היא גם נקודת שבת של $ f\circ g $.
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
- ↑ Alfred Tarski, A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications, .Pacific J. Math 5, 1955, עמ' 285--309
- ↑ B. Knaster, Un théorème sur les fonctions d’ensembles, .Ann. Soc. Polon. Math 6, 1928, עמ' 134--133
נקודת שבת39158432Q217608