ספקטרום פרויקטיבי

בגאומטריה אלגברית ספקטרום פרויקטיבי הוא אנלוג פרויקטיבי של המושג ספקטרום של חוג. ספקטרום פרויקטיבי מתאים לחוג קומוטטיבי מדורג $A$ יריעה קוואזי-פרויקטיבית (או סכמה קוואזי-פרויקטיבית) $Proj(A)$ , אם $A$ אלגברה נוצרת סופית מעל $A_{0}$ . למשל, אם $A=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ הוא חוג הפולינומים, מדורג כך שכל המשתנים בעלי דרגה 1, אז $Proj(A)$ הוא המרחב הפרויקטיבי $\mathbb {P} _{k}^{n}$ . בגאומטריה אלגברית קלאסית יריעה פרויקטיבית $X\subset \mathbb {P} _{k}^{n}$ המוגדרת על-ידי משוואות הומוגניות $f_{i}(x_{0},\ldots ,x_{n})=0,i=1,\ldots ,m$ מתוארת על-ידי חוג מדורג $A=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})$ עם הדירוג המושרה מהדירוג הסטנדרטי בחוג הפולינומים. בניית הספקטרום הפרויקטיבי משחזרת (בשפה של סכמות) את היריעה הפרויקטיבית $X$ מהחוג המדורג $A$ .

$Proj(A)$ כקבוצה

יהי $A=\oplus _{i\geq 0}A_{i}$ חוג קומוטטיבי מדורג. אידיאל $I\subset A$ נקרא הומוגני אם $I=\oplus I_{i},I_{i}=I\cap A_{i}$ . אוסף אברי $A$ בעלי דרגה חיובית $A_{+}=\oplus _{i>0}A_{i}$ הוא אידיאל הומוגני הקרוי לעיתים אידיאל לא רלוונטי (אנ'). איברי $Proj(A)$ הם האידיאלים הראשוניים המדורגים של $A$ שלא מכילים את $A_{+}$ .

טופולוגיית זריצקי על $Proj(A)$

בדומה לטופולוגיה על הספקטרום של חוג קומוטטיבי, ניתן להגדיר על $Proj(A)$ טופולוגיה על-ידי קביעת קבוצות $V(I)=\{{\mathfrak {p}}\in Proj(A)|{\mathfrak {p}}\supset I\}$ , כאשר $I$ אידיאל הומוגני, כקבוצות סגורות. זה מגדיר טופולוגיה על $Proj(A)$ הנקראת טופולוגיית זריצקי. בסיס של הטופולוגיה ניתן על-ידי הקבוצות הפתוחות $D(f)=\{{\mathfrak {p}}\in Proj(A)|{\mathfrak {p}}\not \ni f\}$ כאשר $f$ איבר הומוגני ב- $A$ . נציין כי $D(f)$ הומאומורפי לספקטרום של החוג $A_{(f)}$ , לוקליזציה הומוגנית של $A$ המוגדרת כאוסף שברים ${\frac {a}{f^{k}}}$ ב- $A_{f}$ בעלי דרגה $0$ .

מבנה של סכמה על $Proj(A)$

כדי להגדיר מבנה של מרחב מחויג על $Proj(A)$ , יש להגדיר עליו את אלומת המבנה ${\mathcal {O}}$ , אלומת הפונקציות הרגולריות. כיוון שהקבוצות הפתוחות $D(f)$ מהוות בסיס של טופולוגיה, מספיק להגדיר את חתכי אלומת המבנה רק על קבוצות אלה, וכן להגדיר את העתקות הצמצום ${\mathcal {O}}(D(f))\to {\mathcal {O}}(D(fg))$ לכל זוג איברים הומוגניים $f,g$ בחוג $A$ . הומאומורםיזם בין $D(f)$ לבין הספקטרום של $A_{(f)}$ מאפשר להגדיר ${\mathcal {O}}(D(f))=A_{(f)}$ ולקבל את העתקות הצמצום באופן אוטומטי. כיוון שמרחב מחויג $D(f)$ איזומורפי, לפי הבנייה, לסכמה אפינית $Spec(A_{(f)})$ , $Proj(A)$ הוא סכמה.

מורפיזם סכמות $\pi :\ Proj(A)\to Spec(A_{0})$ מתקבל על-ידי הדבקה של המורפיסמים $Spec(A_{(f)})\to Spec(A_{0})$ המוגדרים על-ידי מבנה של $A_{0}$ -אלגברה על $A_{(f)}$ . מורפיזם זה פרויקטיבי עם $A$ אלגברה נוצרת סופית מעל $A_{0}$ .

דוגמאות

המרחב הפרויקטיבי

הדוגמה הראשונה של ספקטרום פרויקטיבי היא $Proj(A)$ כאשר $A=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ . הקבוצות הפתוחות $D(x_{i})$ מזוהות עם ספקטרה של חוגי הפולינומים $A_{(x_{i})}=k[{\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}]$ , כך שבמקרה $k$ הוא שדה סגור אלגברית, הנקודות הסגורות של $Proj(A)$ מזוהות עם המרחב הפרויקטיבי הקלאסי $\mathbb {P} _{k}^{n}$ . באופן כללי, הספקטרום הפרויקטיבי של $A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ כאשר $A$ חוג קומוטטיבי כלשהו והמשתנים $x_{i}$ בעלי דרגה $1$ , נקרא המרחב הפרויקטיבי מעל $A$ המסומן $\mathbb {P} _{A}^{n}$ .

יריעות פרויקטיביות קלאסיות

יהי $k$ שדה סגור אלגברית, $A$ אלגברה מדורגת הנוצרת על-ידי איברים הומוגניים בעלי דרגה $1$ . זה גורר כי $A$ ניתן להציג כמנה של החוג המדורג $S=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ מודולו אידיאל הומוגני $J$ . זה מאפשר להציג $Proj(A)$ כתת-סכמה סגורה של $\mathbb {P} _{k}^{n}$ . הנקודות הסגורות של $Proj(A)$ הן נקודות $(x_{0}:\ldots :x_{n})$ של $\mathbb {P} _{k}^{n}$ המקיימות משוואות של $J$ .