ספקטרום פרויקטיבי
בגאומטריה אלגברית ספקטרום פרויקטיבי הוא אנלוג פרויקטיבי של המושג ספקטרום של חוג. ספקטרום פרויקטיבי מתאים לחוג קומוטטיבי מדורג $ A $ יריעה קוואזי-פרויקטיבית (או סכמה קוואזי-פרויקטיבית) $ Proj(A) $, אם $ A $ אלגברה נוצרת סופית מעל $ A_{0} $. למשל, אם $ A=k[x_{0},\ldots ,x_{n}] $ הוא חוג הפולינומים, מדורג כך שכל המשתנים בעלי דרגה 1, אז $ Proj(A) $ הוא המרחב הפרויקטיבי $ \mathbb {P} _{k}^{n} $. בגאומטריה אלגברית קלאסית יריעה פרויקטיבית $ X\subset \mathbb {P} _{k}^{n} $ המוגדרת על-ידי משוואות הומוגניות $ f_{i}(x_{0},\ldots ,x_{n})=0,i=1,\ldots ,m $ מתוארת על-ידי חוג מדורג $ A=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}) $ עם הדירוג המושרה מהדירוג הסטנדרטי בחוג הפולינומים. בניית הספקטרום הפרויקטיבי משחזרת (בשפה של סכמות) את היריעה הפרויקטיבית $ X $ מהחוג המדורג $ A $.
$ Proj(A) $ כקבוצה
יהי $ A=\oplus _{i\geq 0}A_{i} $ חוג קומוטטיבי מדורג. אידיאל $ I\subset A $ נקרא הומוגני אם $ I=\oplus I_{i},I_{i}=I\cap A_{i} $. אוסף אברי $ A $ בעלי דרגה חיובית $ A_{+}=\oplus _{i>0}A_{i} $ הוא אידיאל הומוגני הקרוי לעיתים אידיאל לא רלוונטי (אנ'). איברי $ Proj(A) $ הם האידיאלים הראשוניים המדורגים של $ A $ שלא מכילים את $ A_{+} $.
טופולוגיית זריצקי על $ Proj(A) $
בדומה לטופולוגיה על הספקטרום של חוג קומוטטיבי, ניתן להגדיר על $ Proj(A) $ טופולוגיה על-ידי קביעת קבוצות $ V(I)=\{{\mathfrak {p}}\in Proj(A)|{\mathfrak {p}}\supset I\} $, כאשר $ I $ אידיאל הומוגני, כקבוצות סגורות. זה מגדיר טופולוגיה על $ Proj(A) $ הנקראת טופולוגיית זריצקי. בסיס של הטופולוגיה ניתן על-ידי הקבוצות הפתוחות $ D(f)=\{{\mathfrak {p}}\in Proj(A)|{\mathfrak {p}}\not \ni f\} $ כאשר $ f $ איבר הומוגני ב-$ A $. נציין כי $ D(f) $ הומאומורפי לספקטרום של החוג $ A_{(f)} $, לוקליזציה הומוגנית של $ A $ המוגדרת כאוסף שברים $ {\frac {a}{f^{k}}} $ ב-$ A_{f} $ בעלי דרגה $ 0 $.
מבנה של סכמה על $ Proj(A) $
כדי להגדיר מבנה של מרחב מחויג על $ Proj(A) $, יש להגדיר עליו את אלומת המבנה $ {\mathcal {O}} $, אלומת הפונקציות הרגולריות. כיוון שהקבוצות הפתוחות $ D(f) $ מהוות בסיס של טופולוגיה, מספיק להגדיר את חתכי אלומת המבנה רק על קבוצות אלה, וכן להגדיר את העתקות הצמצום $ {\mathcal {O}}(D(f))\to {\mathcal {O}}(D(fg)) $ לכל זוג איברים הומוגניים $ f,g $ בחוג $ A $. הומאומורםיזם בין $ D(f) $ לבין הספקטרום של $ A_{(f)} $ מאפשר להגדיר $ {\mathcal {O}}(D(f))=A_{(f)} $ ולקבל את העתקות הצמצום באופן אוטומטי. כיוון שמרחב מחויג $ D(f) $ איזומורפי, לפי הבנייה, לסכמה אפינית $ Spec(A_{(f)}) $, $ Proj(A) $ הוא סכמה.
מורפיזם סכמות $ \pi :\ Proj(A)\to Spec(A_{0}) $ מתקבל על-ידי הדבקה של המורפיסמים $ Spec(A_{(f)})\to Spec(A_{0}) $ המוגדרים על-ידי מבנה של $ A_{0} $-אלגברה על $ A_{(f)} $. מורפיזם זה פרויקטיבי עם $ A $ אלגברה נוצרת סופית מעל $ A_{0} $.
דוגמאות
המרחב הפרויקטיבי
הדוגמה הראשונה של ספקטרום פרויקטיבי היא $ Proj(A) $ כאשר $ A=k[x_{0},\ldots ,x_{n}] $. הקבוצות הפתוחות $ D(x_{i}) $ מזוהות עם ספקטרה של חוגי הפולינומים $ A_{(x_{i})}=k[{\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}] $, כך שבמקרה $ k $ הוא שדה סגור אלגברית, הנקודות הסגורות של $ Proj(A) $ מזוהות עם המרחב הפרויקטיבי הקלאסי $ \mathbb {P} _{k}^{n} $. באופן כללי, הספקטרום הפרויקטיבי של $ A[x_{0},\ldots ,x_{n}] $ כאשר $ A $ חוג קומוטטיבי כלשהו והמשתנים $ x_{i} $ בעלי דרגה $ 1 $, נקרא המרחב הפרויקטיבי מעל $ A $ המסומן $ \mathbb {P} _{A}^{n} $.
יריעות פרויקטיביות קלאסיות
יהי $ k $ שדה סגור אלגברית, $ A $ אלגברה מדורגת הנוצרת על-ידי איברים הומוגניים בעלי דרגה $ 1 $. זה גורר כי $ A $ ניתן להציג כמנה של החוג המדורג $ S=k[x_{0},\ldots ,x_{n}] $ מודולו אידיאל הומוגני $ J $. זה מאפשר להציג $ Proj(A) $ כתת-סכמה סגורה של $ \mathbb {P} _{k}^{n} $. הנקודות הסגורות של $ Proj(A) $ הן נקודות $ (x_{0}:\ldots :x_{n}) $ של $ \mathbb {P} _{k}^{n} $ המקיימות משוואות של $ J $.
ניפוח של סכמה אפינית
תהי $ X=Spec(A) $ סכמה אפינית ותהי $ Y=V(I) $ תת-סכמה סגורה הניתנת על-ידי אידיאל $ I $. ניפוח של $ X $ ב- $ Y $ אפשר לתאר כספקטרום פרויקטיבי של החוג המדורג $ {\displaystyle S=A\oplus I\oplus I^{2}\oplus \ldots } $
לקריאה נוספת
- Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Springer-Verlag. מסת"ב 0-387-90244-9.
ספקטרום פרויקטיבי39221880Q7248935