אלגברה מדורגת

במתמטיקה, אלגברה מדורגת היא אלגברה (אסוציאטיבית או לא אסוציאטיבית), שיש לה מבנה נוסף, הנקרא דירוג. מבנים כאלה שכיחים בגאומטריה אלגברית, בתורת החוגים, באלגברה הומולוגית ובקומבינטוריקה.

מושגי יסוד

אלגברה מדורגת היא אלגברה $A$ שיש לה פירוק לסכום ישר $A=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots$ של מרחבים וקטוריים, באופן שמתיישב עם פעולת הכפל: $A_{n}A_{m}\subseteq A_{n+m}$ . כל אחד מן המרכיבים $A_{n}$ נקרא מרכיב הומוגני, והאיברים של המרכיבים האלה הם איברים הומוגניים. כל איבר של האלגברה אפשר לפרק לסכום (סופי) של איברים הומוגניים מדרגות שונות. הדרגה של איבר הומוגני ב- $A_{n}$ היא $n$ . את ההנחה על פעולת הכפל אפשר לכתוב כך: $\deg(ab)=\deg(a)+\deg(b)$ לכל שני איברים הומוגניים $a,b$ .

מחלקות מסוימות בתורת החוגים אפשר להכליל למקרה המדורג, אם מגבילים את הדרישות לאיברים הומוגניים. כך למשל, אלגברה מדורגת קומוטטיבית שבה כל האיברים ההומוגניים הפיכים היא שדה מדורג.

דוגמאות

הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברה מדורגת היא אלגברת הפולינומים מעל השדה, $A=F[x]$ . האלגברה הזו מתפרקת לסכום ישר $A=\bigoplus _{n=0}^{\infty }Fx^{n}$ , כאשר $Fx^{n}=\{\alpha x^{n}\mid \alpha \in F\}$ הוא אוסף המונומים ממעלה $n$ . פונקציית הדרגה מתאימה לפונקציית המעלה המוכרת, לפחות עבור איברים הומוגניים: $\deg(\alpha x^{n})=n$ .

את התיאור הזה אפשר להכליל לאלגברות פולינומים בכמה משתנים: $A=F[x_{1},\dots ,x_{k}]$ מדורגת למרכיבים, כאשר $A_{n}$ הוא המרחב של כל הפולינומים ההומוגניים ממעלה (כוללת) $n$ ; למשל, כאשר $k=2$ , $A_{3}=Fx_{1}^{3}+Fx_{1}^{2}x_{2}+Fx_{1}x_{2}^{2}+Fx_{2}^{3}$ . כמקודם, הדירוג מבוסס על העובדה שאם $f,g$ שני פולינומים הומוגניים, אז הדרגה של המכפלה $fg$ שווה לסכום המעלות. באופן כללי יותר, אפשר לקבוע לכל משתנה "משקל" אחר; למשל, אפשר לדרג את $A=F[x,y]$ באופן שהדרגה של $x$ היא 2, והדרגה של $y$ היא 3 (הדרגה של כל מונום מחושבת לפי הנחות אלה: $\deg(x^{i}y^{j})=2i+3j$ ). הדרגות היסודיות משנות את הדירוג, וכעת הוא $A=F\oplus 0\oplus Fx\oplus Fy\oplus Fx^{2}\oplus Fxy\oplus (Fx^{3}+Fy^{2})\oplus \cdots$ .

אלגברה חופשית (בכל יריעה של אלגברות שהזהויות המגדירות אותה הן הומוגניות) ניתנת לדירוג טבעי, בדומה לזה של פולינומים.

כל אלגברה $A$ אפשר לדרג דירוג טריוויאלי, אם בוחרים $A_{0}=A$ ו- $A_{n}=0$ לכל $n>0$ . דירוג כזה אינו מוסיף מידע על האלגברה, אבל הוא מראה שהתאוריה של אלגברות מדורגות מכילה, במובן מסוים, את התאוריה הכללית של אלגברות.

אלגברה נקראת מדורגת באופן סופי (finitely graded) אם הממד של כל רכיב הומוגני הוא סופי. אלגברה מדורגת נקראת קשירה אם הממד של הרכיב ההומוגני המתאים לאבר הטריוויאלי הוא חד-ממדי.

דירוג על-פי מונואיד כללי

בהגדרה שניתנה לעיל, האינדקסים של המרכיבים ההומוגניים הם המספרים הטבעיים, והדרגה מתאימה לחיבור של מספרים טבעיים. באופן כללי יותר, אפשר להגדיר אלגברה מדורגת ביחס ל- $M$ , כאשר $M$ הוא מונואיד (בדרך-כלל דורשים שיהיה קומוטטיבי), כאלגברה המתפרקת לסכום ישר $A=\oplus _{g\in M}A_{g}$ , כאשר $A_{g}A_{h}\subseteq A_{g+h}$ בהתאם לפעולת החיבור במונואיד.

המקרים החשובים ביותר הם דירוג ביחס למספרים הטבעיים, דירוג ביחס ל- $A=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ (אלו נקראות בדרך-כלל סופר-אלגברות), ודירוג ביחס לחבורת המספרים השלמים.

הנחות נוספות על המונויד משפיעות על התאוריה של האלגברות המדורגות לפיו. בפרט, יש הבדלים תאורטיים בין דירוג ביחס לחבורה לדירוג ביחס למונויד סדור.

דירוג ביחס לחבורה

בדירוג ביחס לחבורה $G$ מבחינים בין כמה סוגים: האלגברה מדורגת חזק (strongly graded) אם $A_{g}A_{h}=A_{g+h}$ (שוויון, ולא הכלה סתם); האלגברה נקראת מכפלה משולבת אם כל מרכיב הומוגני כולל איבר הפיך; הדירוג נקרא עדין אם המימד של מרכיב הומוגני הוא 0 או 1 (אם כל הממדים 1, האלגברה מוכרחה להיות מכפלה משולבת).

לדוגמה, כל אלגברת חבורה $F[G]$ מדורגת באופן עדין ביחס לחבורה המתאימה.

אידיאל $I$ של אלגברה מדורגת הוא אידיאל הומוגני, אם הוא מתפרק לסכום ישר $I=\oplus (I\cap A_{n})$ ; במילים אחרות, הוא נוצר על ידי איברים הומוגניים. במקרה כזה, גם חוג המנה $A/I$ הוא מדורג, $A/I=\oplus A_{n}/(I\cap A_{n})$ . לכל אידיאל ניתן להגדיר את הליבה ההומוגנית שלו בתור סכום האידיאלים ההומוגניים המוכלים בו, או באופן שקול בתור האידיאל ההומוגני המקסימלי המוכל בו. האידיאל ההומוגני $P$ נקרא ראשוני אם לכל שני אידיאלים מדורגים $I,J$ מתקיים $I\subseteq P$ או $J\subseteq P$ אם $IJ\subseteq P$ . אוסף האידיאלים הראשוניים המדורגים של החוג $Spec^{gr}(R)$ הוא הספקטרום הראשוני של החוג, ומסמנים $rad^{gr}(R)=\cap {Spec^{gr}(R)}$ - הרדיקל הראשוני המדורג. החוג נקרא מדורג ראשוני למחצה אם $rad^{gr}(R)=0$ , וכמו במקרה הלא מדורג, זה קורה אם ורק אם אין לו אידיאלים מדורגים נילפוטנטיים.

משפט של Bahturin-Sehgal-Zaicev מאפיין את כל הדירוגים האפשריים של אלגברה פשוטה מממד סופי ביחס לחבורה סופית.

מודול מדורג

מודול מדורג שמאלי מעל חוג מדורג $R=\oplus _{g\in G}{R_{g}}$ , הוא מודול מהצורה $M=\oplus _{x\in G}{M_{x}}$ , כך שכל $M_{x}$ היא תת-חבורה של $M$ , ו- $R_{g}\cdot M_{x}\subseteq M_{gx}$ . איברי תתי החבורות $M_{x}$ נקראים איברים הומוגניים. תת-מודול $N\leq _{\ell }M$ הוא תת-מודול מדורג אם מתקיים $N=\oplus _{x\in G}{N\cap M_{x}}$ , ובמקרה זה על מודול המנה מוגדר מבנה מדורג לפי $(M/N)_{x}=(M_{x}+N)/N$ . הומומורפיזם מודולים מדורגים $M=\oplus _{x\in G}{M_{x}}\to N=\oplus _{x\in G}{N_{x}}$ הוא הומומורפיזם מודולים כך שמתקיים $f(M_{x})\subseteq N_{x}$ .

מודולים מדורגים שמאליים וההומומורפיזמים שלהם יוצרים את הקטגוריה של המודולים המדורגים השמאליים. בקטגוריה זו ניתן להגדיר מונחים מקבילים לתורת המודולים הרגילה, כמו סכום ישר, תת-מודול גדול, מודול פרויקטיבי, מודול אינג'קטיבי וכו'. כאשר מתעלמים ממבנה הדירוג הם עדיין נשארים כאלה. ישנן תכונות שנשמרות באופן מלא כששוכחים מהדירוג, כמו היותו של תת-מודול גדול, או היותו מחובר ישר.

מודול מדורג הוא פשוט אם אין לו תת-מודולים מדורגים פרט לטריוויאליים, ופשוט למחצה אם הוא סכום ישר של פשוטים. תת-מודול מדורג $N\leq _{\ell }M$ הוא מקסימלי אם $M/N$ הוא מדורג פשוט. התשתית (אלגברה) של מודול מדורג היא סכום תתי המודולים המדורגים הפשוטים שלו, ומסומנת $soc^{gr}(M)$ . היא שווה לחיתוך כל תת-המודולים הגדולים, ומתקיים $soc(M)\subseteq soc^{gr}(M)$ . כל מודול פשוט איזומורפי לתת-מודול מדורג של מודול מדורג כלשהו (מעל אותו החוג עם דירוג סופי).

רדיקל ג'ייקובסון של מודול-מדורג, המסומן $J^{gr}(M)$ , הוא חיתוך כל תתי-המודולים המדורגים המקסימליים. מתקיימת למת נקאימה בגרסה המדורגת - אם $M$ מודול מדורג שמאלי נוצר סופית, אז $J^{gr}(M)M\neq M$ . אם $M=R$ מודול מעל עצמו, מתקיים $J^{gr}(R)\subseteq J(R)$ , וכן $J(R)^{|G|}\subseteq J^{gr}(R)$ .