מחלק אפס

באלגברה, איברי חוג $a,b$ נקראים מחלקי אפס אם מכפלתם היא אפס. איבר $\ a\neq 0$ נקרא מחלק אפס שמאלי אם קיים $\ b\neq 0$ כך ש- $\ ab=0$ , ובדומה לזה $b$ הוא מחלק אפס ימני. בחוג קומוטטיבי, מושגים אלו מתלכדים. חוג שאין בו מחלקי אפס נקרא תחום, ותחום קומוטטיבי נקרא תחום שלמות. לדוגמה, בשדה אין מחלקי אפס. מחלקי אפס הם בדיוק האיברים בעלי מאפס לא-טריוויאלי.

דוגמאות

1. נביט בחוג המטריצות מסדר $\ 2\times 2$ מעל המספרים הרציונליים. מכיוון ש- ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$ , נקבל ש- ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$ הוא מחלק אפס שמאלי ו- ${\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}$ היא מחלק אפס ימני. באופן כללי, מטריצה מעל שדה היא מחלק אפס (ימני ושמאלי) אם ורק אם היא אינה הפיכה.

2. כל אידמפוטנט $e$ שאינו איבר היחידה של החוג הוא מחלק אפס. (אכן, לפי ההנחה קיים $x$ בחוג כך ש- $\ ex-x\neq 0$ , ואז $\ e(ex-x)=ex-ex=0$ ). בפרט איבר יחידה של תת-חוג, שאינו איבר יחידה של החוג כולו, הוא מחלק אפס.