מרחב פרויקטיבי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

מרחב פרויקטיבי הוא גאומטריה עם נקודות וישרים, המקיימת כמה אקסיומות פשוטות. למרחב פרויקטיבי יש ממד, ומרחב מממד 2 נקרא מישור פרויקטיבי. מרחבים פרויקטיביים הם מושא המחקר המרכזי בגאומטריה פרויקטיבית. מרחבים פרויקטיביים קשורים קשר הדוק למרחבים אפיניים, וכמותם אפשר לטפל בהם גם מנקודת מבט אקסיומטית וגם מנקודת המבט של הדוגמה העיקרית למרחב אפיני – המרחב האוקלידי.

הגישה האקסיומטית

הגדרה

מנקודת המבט של גאומטריית חילה, מרחב פרויקטיבי הוא גאומטריה שיש בה שני טיפוסים, נקודות וישרים, עם יחס חילה ביניהם. מערכת של נקודות וישרים נקראת מרחב פרויקטיבי אם דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, יש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים, ומתקיימת אקסיומת ובלן-יאנג: אם הישרים ab ו-cd נחתכים, אז גם ac ו-bd נחתכים. מרחב פרויקטיבי הוא מרחב דזרגי אם הוא מקיים את משפט דזרג.

תת-מרחבים

במרחב פרויקטיבי נתון, קבוצת נקודות הכוללת יחד עם כל שתי נקודות x,y את כל הנקודות על הישר xy נקראת תת-מרחב. תת-מרחב שאינו מוכל כולו בישר אחד מהווה מרחב פרויקטיבי בעצמו. אם U תת-מרחב של מרחב פרויקטיבי P ו-p נקודה מחוץ לו, אז איחוד הישרים pu (עבור הנקודות u על U) הוא תת-המרחב הנוצר על ידי U ו-p; תת-המרחב הזה נוצר על ידי U וכל נקודה שלו שמחוץ ל-U. תת-המרחב הנוצר על ידי שלוש נקודות x,y,z שאינן על ישר אחד נקרא מישור.

בדומה להגדרות באלגברה ליניארית, אפשר להגדיר בסיס של מרחב פרויקטיבי P כקבוצה S שהיא פורשׂת (כלומר S יוצרת את P) ובלתי תלויה (S אינה נפרשת על ידי אף תת-קבוצה אמיתית שלה). קבוצה היא בסיס אם ורק אם היא פורשת מינימלית, אם ורק אם היא בלתי תלויה מקסימלית. לכל מרחב פרויקטיבי יש בסיס (עובדה זו מצריכה את הלמה של צורן). הבסיסים של מרחב פרויקטיבי P מקיימים את למת ההחלפה של שטייניץ, וכתוצאה מכך לכל הבסיסים אותו גודל - וזהו, על-פי ההגדרה, הממד של P. הממד מקיים את נוסחת הממדים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim(\langle U,U'\rangle) = \dim(U)+\dim(U')-\dim(U\cap U')} . תת-מרחב מקסימלי (כזה שבהוספת נקודה אחת פורש את המרחב כולו) נקרא על-מישור.

טרנספורמציות

העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב פרויקטיבי לקבוצת הנקודות של מרחב פרויקטיבי נקראת קולינאציה אם לכל x,y,z על ישר אחד, גם התמונות נמצאות על ישר אחד. כל קולינאציה משרה העתקה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצות הישרים של המרחבים, ומעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים. קולינאציה שומרת על בסיסים וממדים. מרחבים פרויקטיביים שיש ביניהם קולינאציה הם איזומורפיים.

הקולינאציה עם מרכז z וציר H: אם קיימת קולינאציה המעבירה את p ל-(a(p, אז היא מעבירה את x ל-(a(x.

קולינאציה a ממרחב פרויקטיבי לעצמו היא מרכזית אם יש לה נקודת מרכז (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a). תכונה זו שקולה לקיומו של ציר (על-מישור שכל נקודותיו נשמרות). קולינאציה מרכזית שנקודת המרכז שלה אינה שייכת לציר נקראת הומולוגיה. אוסף הקולינאציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G(p,H)} עם מרכז נתון p וציר נתון H מהווה חבורה. קולינאציה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G(p,H)} נקבעת באופן יחיד על ידי התמונה של נקודה כלשהי שאינה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H \cup \{p\}} ; אם המרחב דזרגי, אז החבורה פועלת טרנזיטיבית על החלק שמחוץ ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H \cup \{p\}} של כל ישר דרך p. (על הקולינאציות של המישור הפרויקטיבי הקלאסי, ראה מישור פרויקטיבי).

הקשר למרחבים אפיניים

אם מסירים ממרחב פרויקטיבי את כל הנקודות בעל-מישור, מתקבל מרחב אפיני; וכל מרחב אפיני מתקבל כך, באופן יחיד (עד כדי איזומורפיזם). קולינאציה בין מרחבים פרויקטיביים משרה קולינאציה בין המרחבים האפיניים המתקבלים מהם, ולהפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרויקטיביים שהם מגדירים.

דואליות ופולריות

יהי P מרחב פרויקטיבי. המרחב הדואלי $\ P^{*}$ הוא הגאומטריה שהנקודות והישרים שלה הן תת-המרחבים מקו-ממד 1 ו-2 של P, בהתאמה. זהו מרחב פרויקטיבי, מאותו ממד כמו P. קולינאציה מ-P למרחב הדואלי (שהיא התאמה בין נקודות לתת-מרחבים מממד d-1, המעבירה שלוש נקודות על ישר לשלושה מרחבים הנחתכים במימד d-2) נקראת דואליות של P. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta : P \rightarrow P^*} היא דואליות, אז לכל תת-מרחב U של P מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta(U) = \bigcap_{x \in U} \delta(x)} .

דואליות היא פולריות, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x\in \pi(y)} אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y\in \pi(x)} ; פולריות אינה אלא דואליות מסדר 2. תת-מרחב U של P הוא מוחלט ביחס לפולריות $\ \pi$, אם $\ U\subseteq \pi (U)$. אם לפולריות יש לפחות ישר מוחלט אחד, אז הנקודות והישרים המוחלטים מהווים מרחב פולרי.

אם P מוגדר בקואורדינטות הומוגניות, אפשר לתאר את הדואליות והפולריות שלו באמצעות תבניות ביליניאריות; ראו להלן.

בניה בקואורדינטות הומוגניות

קואורדינטות הומוגניות מספקות דרך נוחה לבנות מרחב פרויקטיבי.

יהי F שדה ויהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,V} מרחב וקטורי. מ-V מסלקים את נקודת הראשית (שתשמש עוגן לפרספקטיבה), ועל הנקודות הנותרות מגדירים יחס שקילות באופן הבא: הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0 \neq x,y \in V } שקולות אם קיים סקלר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0 \neq \lambda \in F} , כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y=\lambda x} .

הנקודות של המרחב הפרויקטיבי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{P}V} הן, על-פי ההגדרה, מחלקות השקילות $\ \{\lambda x|0\neq \lambda \in \ F\}$, המייצגות ישרים מנוקבים (בלא הראשית) במרחב המקורי. לכל תת-מרחב ליניארי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H\sub V} , המרחב הפרויקטיבי המתאים כולל את הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [x]} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x\in H} . הממד הפרויקטיבי תמיד קטן ב-1 מן הממד באלגברה ליניארית: מרחבים חד-ממדיים מתאימים לנקודות, מרחבים דו-ממדיים לישרים, וכן הלאה.

אם $\ V=F^{n+1}$ הוא מרחב וקטורי מממד סופי, אפשר לתאר כל וקטור שלו על ידי קואורדינטות באמצעות הבסיס הסטנדרטי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \left( x_0, \dots , x_n \right)} . יחס השקילות מוגדר על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V-\{(0,\dots,0)\}} באופן הבא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_0,\dots,x_n) \sim (y_0,\dots,y_n) \iff \exists \lambda \in F^\times : (x_0, \dots , x_n) = (\lambda y_0 , \dots , \lambda y_n)} , כלומר: קיים סקלר שונה מאפס כך ששתי ה-n+1-יות פרופורציוניות זו לזו על ידי סקלר זה. זהו יחס שקילות על V. את מחלקת השקילות של וקטור תחת היחס הזה נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( x_0 : \dots : x_n \right) = \left[ (x_0, \dots,x_n) \right]} כאשר סימון הנקודתיים בא להזכיר שמה שרק היחסים בין הקואורדינטות משמעותיים. הקואורדינטות המתארות את מחלקת השקילות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( x_0 : \dots : x_n \right)} נקראות "קואורדינטות הומוגניות". המרחב הפרויקטיבי מוגדר להיות המרחב של כל מחלקות השקילות הללו, כלומר: $\mathbb {P} _{F}^{n}=\mathbb {P} (V)=(V-\{(0,\dots ,0)\})/\sim$.

שדה הסקלרים

בבניה שתוארה לעיל אפשר להחליף את שדה הסקלרים F בכל חוג עם חילוק (אסוציאטיבי) D, כאשר המרחב הווקטורי V מוחלף במרחב וקטורי שמאלי מעל D (לאו דווקא מממד סופי). כל מרחב פרויקטיבי מממד 3 ואילך נבנה באופן הזה, וכל מרחב פרויקטיבי הנבנה באופן זה הוא דזרגי. לפי המשפט היסודי הראשון של הגאומטריה הפרויקטיבית, כל מרחב פרויקטיבי דזרגי הוא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{P}V} עבור מרחב וקטורי שמאלי V מעל חוג עם חילוק. ההוכחה של המשפט היסודי אינה קלה, אבל הרעיון המרכזי פשוט למדי. בהינתן המרחב הפרויקטיבי P, מסירים ממנו על-מישור כדי לקבל מרחב אפיני A, בו בוחרים נקודת אפס ומגדירים פעולת חיבור על ידי פעולות ההזזה (המתחלפות זו עם זו). אוסף ההומולוגיות של A, ביחס לנקודת המרכז 0, ויחד עם העתקת האפס (המכווצת את המרחב לנקודה), מהווה חוג עם חילוק D ש-A מרחב וקטורי מעליו.

המרחב הפרויקטיבי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{P}V} , כאשר V מרחב וקטורי מעל שדה הסקלרים D (חוג עם חילוק, כאמור), מקיים את משפט פאפוס אם ורק אם D הוא שדה (קומוטטיבי). התאמה זו בין תכונה אלגברית של שדה הסקלרים לבין התכונות הגאומטריות של המרחב הווקטורי, הייתה אחד הגורמים הראשונים לפיתוחה של תורת הזהויות של חוגים.

טרנספורמציות

יהי V מרחב וקטורי מעל חוג עם חילוק D. כל העתקה ליניארית הפיכה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t : V \to V} משרה קולינאציה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{P}V} (קולינאציה היא העתקה הפיכה של הנקודות, המעבירה ישר לישר). שתי העתקות ליניאריות משרות את אותה קולינאציה אם ורק אם אחת מהן מתקבלת מהשנייה על ידי כפל משמאל באיבר מרכזי של D. את חבורת ההעתקות המתקבלות באופן הזה מסמנים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{PGL}(V) = \operatorname{Cent}(D)^\times\backslash\!\operatorname{GL}(V)} (אם D הוא שדה, הסימון מתלכד עם הסימון המקובל לחבורה הליניארית הפרויקטיבית).

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V = D^{d+1}} , כך ש-הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \mathbb {P} V=\mathbb {P} D^{d+1}} הוא מרחב פרויקטיבי d-ממדי, אז חבורת הקולינאציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{PGL}(V) =\operatorname{PGL}_{d+1}(D)} פועלת טרנזיטיבית על החדרים של המרחב (חדר הוא דגל מקסימלי, כלומר שרשרת של תת-מרחבים בממדים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0,1,\dots,d-1} ). בדומה לזה, החבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{PGL}_{d+1}(D)} פועלת טרנזיטיבית על התבניות של המרחב (תבנית, frame, היא קבוצה של d+2 נקודות שכל d+1 מהן מהוות בסיס למרחב הפרויקטיבי); ואם D שדה (קומוטטיבי), אז הפעולה הזו היא חדה.

כדי לקבל את כל הקולינאציות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{P}V} , יש להכליל את חבורת ההעתקות הליניאריות להעתקות ליניאריות למחצה: העתקה אדיטיבית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha : V \rightarrow V} היא ליניארית למחצה אם יש אוטומורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma : D \rightarrow D} כך ש-$\ \alpha (\lambda v)=\sigma (\lambda )\alpha (v)$. את חבורת ההעתקות הליניאריות למחצה מסמנים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G\Gamma(V)} , וכמו במקרה של העתקות ליניאריות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{P\Gamma{}L}(V) = \operatorname{Cent}(D)^\times\backslash\!\operatorname{G\Gamma}(V)} . המשפט היסודי השני של הגאומטריה הפרויקטיבית קובע שחבורת הקולינאציות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{P}V} היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{P\Gamma{}L}(V)} .

דואליות ופולריות

אם P הוא מרחב פרויקטיבי מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{P}V} , כאשר V מרחב וקטורי שמאלי מעל חוג עם חילוק D, אז המרחב הדואלי של P הוא המרחב הפרויקטיבי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{P}(V^*)} , כאשר הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ V^{*}=\operatorname {Hom} (V,D)} הוא המרחב הדואלי של V, המהווה מודול שמאלי מעל החוג המנוגד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ D^{\operatorname{op}}} .

במרחבים פרויקטיביים המתוארים על ידי קואורדינטות הומוגניות, אפשר לתאר את כל הדואליוֹת והפולריוֹת באמצעות תבניות ביליניאריות והכללות שלהן, באופן הבא. תבנית ססקווילינארית של V היא פונקציה בי-אדיטיבית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f : V \times V \rightarrow D} המקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(ax,y) = a f(x,y)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x,ay) = f(x,y)\sigma(a)} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma : D \rightarrow D} הוא אנטי-אוטומורפיזם. כל תבנית כזו מגדירה דואליות על המרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{P}V} , לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \delta(\langle v \rangle ) = \{w \in V : f(v,w) =0\}} . כל דואליות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{P}V} מוגדרת באופן כזה.

לפי משפט בירקהוף--פון נוימן, כל פולריות של $\ \mathbb {P} V$ מוגדרת כמתואר לעיל, כאשר התבנית f היא סימטרית, או אנטי-סימטרית, או הרמיטית או אנטי-הרמיטית ביחס ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma} שהיא אינוולוציה של D.

ראו גם

• מרחב פרויקטיבי ממשי
• מישור פרויקטיבי
• יריעה אלגברית פרויקטיבית
• שיכון סגרה
• גאומטריית חילה

קישורים חיצוניים

• מרחב פרויקטיבי, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

27136109מרחב פרויקטיבי