סכמה (מתמטיקה)

במתמטיקה, סכמה היא מבנה מתמטי שמכליל בכמה דרכים את הרעיון של יריעה אלגברית מהגאומטריה האלגברית הקלאסית. לדוגמה, המשוואות $x=0$ ו-$x^{2}=0$ מגדירים את אותן היריעות אך סכמות שונות, הסכמה מאפשרת להגדיר את הרעיון של "יריעה" מעל כל חוג קומוטטיבי (לדוגמה, עקום פרמה מוגדר מעל חוג השלמים $\mathbb {Z}$)

סכמות הוצגו לראשונה על ידי אלכסנדר גרות'נדיק בשנת 1960 בספרו "יסודות הגאומטריה האלגברית"; מטרתו של גרות'נדיק היא לבנות פרמול חדש של התחום כדי לפתור שאלות עמוקות וחשובות בתחום ובתחומים הקשורים, כגון השערות וויל (שהאחרונה מביניהן נפתרה על ידי פייר דליין (Pierre Delige). הגישה מתבססת רבות על אלגברה קומוטטיבית, ותורת הסכמות מביאה את האפשרות להשתמש בכלים של טופולוגיה ואלגברה הומולוגית, בנוסף, סכמות מקשרות בקשר הדוק בין גאומטריה אלגברית לבין תורת המספרים (מה ששימש רבות את ווילס בהוכחת "המשפט האחרון של פרמה").

הגדרה

עבור חוג קומוטטיבי $R$ נגדיר את המרחב המחוייג $({\text{Spec}}R,O_{{\text{Spec}}R})$ כאשר הספקטרום של $R$ מצויד בטופולוגיית זריצקי והוא נקרא הסכמה האפינית המשויכת ל-$R$ עם אלומת החוגים המתאימה, סכמה אפינית היא מרחב מחוייג שאיזומורפי למרחב כנ"ל עבור חוג כלשהו. מרחב מחוייג $X$ יקרא סכימה אם יש הצגה שלו כאיחוד של קבוצות $U_{i}$ עבור $i\in I$ כך שכל מרחב $(U_{i},O_{X}|_{U_{i}})$ הוא סכימה אופיינית, כלומר, סכמה היא מין הדבקה של סכמות אופייניות.

בעבר, סכמה נקראה "קדם-סכמה" והמונח סכמה ניתן לקדם-סכמה מופרדת, הטרמינולוגיה הזו כבר לא בשימוש אך עדיין יש ספרים שאפשר למצוא את המינוח, כמו ב"יסודות הגאומטריה האלגברית" של גרות'נדיק ו"הספר האדום" של מאמפורד.

דוגמה קלאסית היא המרחב האופייני ה-n ממדי, $\mathbb {A} _{k}^{n}:={\text{Spec}}(k[x_{1},...,x_{n}])$ עבור שדה $k$ (לרוב סגור אלגברית).

מורפיזמים בין סכימות

יהיו $X,Y$ סכמות, מורפיזם $\pi :X\to Y$ הוא המידע הבא:

1. העתקה רציפה בין שני מרחבים טופולוגיים $\pi :X\to Y$
2. מורפיזם של אלומות $\pi ^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y}\to \pi _{*}{\mathcal {O}}_{X}$ כאשר $\pi _{*}{\mathcal {O}}_{X}$ הוא ה"דחיפה" של האלומה ${\mathcal {O}}_{X}$ על $Y$.
3. נדרוש בנוסף גם שהומומורפיזם המושרה מ-$\pi ^{\sharp }$ על הגבעולים יהיה הומומורפיזם של חוגים מקומיים, כלומר אם $q\in Y\,,p\in X$ כך ש-$\pi (p)=q$ אז אם נסמן את ההומומורפיזם המושרה מ-$\pi ^{\sharp }$ על ידי $\pi _{q}:{\mathcal {O}}_{Y,q}\to {\mathcal {O}}_{X,p}$ ואת $m_{p},m_{q}$ כהאידיאלים המקסימליים בחוגים ${\mathcal {O}}_{X,p},{O}_{Y,q}$ בהתאמה, אז הדרישה על $\pi _{q}$ היא שיתקיים: $\pi _{q}(m_{q})\subseteq m_{p}$.

לכל סכמה $X$ יש מורפיזם טבעי $\theta :X\to {\text{Spec}}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ שהוא איזומורפיזם אם ורק אם $X$ סכמה אפינית. ניסוח זה בעצם שקול לטענה שאם $R$ חוג קומוטטיבי ו-$X$ סכמה, אז יש התאמה חח"ע ועל: ${\text{Mor}}(X,{\text{Spec}}R)\cong {\text{Hom}}(R,\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))$

יתרה מזאת, הטענה דלעיל יכולה לתת אפיון של סכימות אופייניות כך: סכמה $X$ היא אופיינית אם ורק אם לכל סכמה $S$ ההעתקה ${\text{Mor}}(S,X)\to {\text{Hom}}(\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\Gamma (S,{\mathcal {O}}_{S}))$ היא חח"ע ועל.

הוכחה: אם ההעתקה חח"ע ועל אז ${\text{Mor}}(-,X)\simeq {\text{Mor}}(-,{\text{Spec}}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))$ ולכן $X$ איזומורפי ל-$\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ מהלמה של יונדה, הכיוון השני ברור.

ידוע כי $\mathbb {Z}$ הוא האובייקט הראשון בקטגוריה של החוגים (הקומוטטיביים עם יחידה, ${\text{Ring}}$) ולכן מהטענה נקבל כי ${\text{Spec}}\mathbb {Z}$ הוא האובייקט האחרון בקטגוריית הסכמות (${\text{Sch}}$), כלומר, מכל סכמה $X$ יש מורפיזם יחיד $X\to {\text{Spec}}\mathbb {Z}$.

אם נסמן את קטגוריית הסכמות האופייניות ב-${\text{ASch}}$ אז מהמשפט נקבל תוצאה חשובה, ${\text{Ring}}^{\text{op}}={\text{ASch}}$.

למעשה, למורפיזמים יש הרבה חשיבות רבה בתאוריה הזאת וגרות'נדיק אף אמר "לא צריך ללמוד סכמות, צריך ללמוד מורפיזמים".

דוגמאות

• כל סכמה אופיינית היא סכימה (אנחנו מניחים כי כל החוגים הם קומוטטיביים).
• פולינום $f$ מעל שדה $k$, כלומר $f\in k[x_{1},..,x_{n}]$ מגדיר תת-סכמה סגורה במרחב האפיני $\mathbb {A} _{k}^{n}$, הנקראת גם "היפר-יריעה". פורמלית, היא מוגדרת כ-${\text{Spec}}(k[x_{1},...,x_{n}]/(f))$. לדוגמה, הפולינום $f=x^{2}-y^{2}(y+1)$, מגדיר עקומה סינגולרית ב-$\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}$.
• לכל חוג $R$ אפשר לבנות את המרחב הפרויקטיבי ה-n ממדי מעל $R$ על ידי "הדבקת" n+1 עותקים של המרחב ${\text{Spec}}(R[x_{1},...,x_{n}])$ לאורך הקבוצות הפתוחות.
• הישר עם "שני" אפסים, מתחילים מלקחת שני עותקים של הישר האפיני (מעל איזשהו שדה k) ונזהה את הנקודות בקבוצה הפתוחה $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}-\{{\bar {0}}\}$ עם עצמן על ידי הזהות, פורמלית: $\left(\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}\coprod \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}\right)/\sim$ כאשר היחס שקילות הוא זה שתיארנו. זוהי דוגמה לסכמה לא פרידה, ובפרט לא אופיינית.
• בהינתן פולינום הומוגני ממעלה חיובית ב-$R[x_{1},...,x_{n}]$ מגדיר תת-סכמה סגורה על ידי $f=0$ במרחב הפרויקטיבי $\mathbb {P} _{R}^{n}$ שנקרא היפר-יריעה פרויקטיבית, פורמלית, תת-הסכמה היא ${\text{Proj}}(R[x_{1},...x_{n}]/f(x))$. לדוגמה, תת-הסכמה המוגדרת על ידי $x^{3}+y^{3}=z^{3}$, זו עקומה אליפטית מעל הרציונלים.
• סיבה מספיק טובה להתעניין בסכמות ולא בסכות אפיניות רק היא כי למשל לא חייב שקבוצה פתוחה של סכמה אופיינית לא בהכרח תהיה אופיינית. לדוגמה, $X=\mathbb {A} ^{n}-0$ למשל מעל המרוכבים; אז המרחב $X$ לא אפיני עבור $n\geq 2$ (עבור $n=1$ נקבל את הציר בלי הראשית וזה איזומורפי ל-${\text{Spec}}\mathbb {C} [x,x^{-1}]$ ובפרט לא אפיני.) כדי להראות שהמרחב שלנו לא אפיני, צריך להראות שכל פונקציה רגולרית על המרחב שלנו נוכל להרחיב על כל המרחב האפיני עבור $n\geq 2$ (הטענה דומה ללמה של הארטוגס מאנליזה מרוכבת אך קלה יותר להוכחה). ההכלה $i:X\to \mathbb {A} ^{n}$ משרה הומומורפיזם של חוגים $i^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}(\mathbb {A} ^{n})\to {\mathcal {O}}_{X}(X)$. אם $X$ היית סכמה אופיינית אז i הייתה איזומורפיזם אך היא לא על ולכן לא איזומופורפיזם.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

26361045סכמה (מתמטיקה)