הכללה (מתמטיקה)

הכללה היא מאבני היסוד של הפעילות המתמטית. הכללה פירושה לקיחת עצם מתמטי מסוים, ומעבר ממנו לעצם כללי יותר, שהעצם שממנו יצאנו מהווה מקרה פרטי שלו.

מושג B מהווה הכללה של מושג A כאשר:

• כל מופע של המושג A הוא גם מופע של המושג B.
• יש מופע של המושג B שאיננו מופע של המושג A.

יתרונה הבולט של ההכללה היא בכך שהיא עוברת מהדיון במושג הפרטי, המצומצם, למושג כללי, ובכך מאפשרת את יישומו של הידע שנצבר אודות המושג המצומצם בעולם המקיף יותר שבו חל המושג הכללי. בנוסף, ההתעסקות ב"תמונה הגדולה" מאפשרת לעיתים לגלות מידע חדש על המושג הפרטי, שעד אז היה קשה להבחין בו בשל ריבוי הפרטים הלא רלוונטיים.

דוגמאות

• ממערכות המספרים השונות מהוות הכללה אחת של השנייה. המספרים המרוכבים מהווים הכללה של המספרים הממשיים המהווים הכללה של המספרים הרציונליים המהווים הכללה של המספרים השלמים המהווים הכללה של מספרים הטבעיים.
• משפט הקוסינוסים הוא הכללה של משפט פיתגורס ממשולש ישר-זווית למשולש כלשהו.
• אלגברה מופשטת עוסקת בהכללות של מבני המספרים המוכרים, כאשר מפשיטים מהם המבנה העשיר שלהם ונשארים רק עם התכונות האלגבריות. כך למשל חוג הוא הכללה של המספרים השלמים ושדה הוא הכללה של המספרים הרציונליים. הכללה זו מאפשרת להשתמש בתכונות מוצלחות רבות של המספרים גם במבנים שאינם מספריים.
• משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' שהוא הכללה של משפט רול.
• מספר מצולע הוא הכללה של מספר משולשי ומספר ריבועי. משפט המספרים המצולעים מכליל את משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'.
• טופולוגיה היא תחום המכליל את הגאומטריה ואת החשבון האינפיניטסימלי. היא מאפשרת לחקור טענות רבות מתחומים אלו בלי להתבסס על מושג המרחק המושרש בהם היטב.

דוגמה מפורטת

נתחיל מטענה פשוטה אודות מספרים ונכליל אותה:

• 6 מתחלק ב-3.

זהו טענה פשוטה וידועה לכל. ניתן להכליל אותה לטענה הבאה:

• לכל מספר טבעי a מתקיים שהמספר $a^{3}-a$ מתחלק ב-3.

טענה זו נכונה משום ש-$a^{3}-a=a(a-1)(a+1)$. זוהי מכפלה של שלושה מספרים עוקבים, ולכן בהכרח אחד מהם מתחלק ב-3, ולכן כך גם המכפלה כולה. אם נציב a=2 נקבל את הטענה ש-6 מתחלק ב-3, ממנה התחלנו.

• המשפט הקטן של פרמה: לכל p ראשוני ולכל a טבעי, $a^{p}-a$ מתחלק ב-p.

משפט זה מכליל את הטענה הקודמת שמתקבלת מהמשפט כאשר מציבים p=3.

• משפט אוילר: לכל n טבעי ולכל a טבעי זר ל-n, מתקיים ש-$a^{\phi (n)}-1$ מתחלק ב-n ($\phi (n)$ היא פונקציית אוילר, ששווה למספר המספרים הזרים ל-n וקטנים ממנו).

משפט אוילר מכליל את המשפט הקטן של פרמה. שכן אם נקח את n להיות ראשוני p, אז $\phi (p)=p-1$, ונקבל $a^{p-1}-1$ מתחלק ב-p. לאחר כפל ב-a מתקבל הנוסח המוכר של המשפט הקטן של פרמה.

עד כה עסקנו במספרים טבעיים. אך ההכללה הבאה תחשוף את הטבע האמיתי של הטענות שעסקנו בהן, שיש להן משמעות אלגברית עמוקה.

• תהי G חבורה מסדר n, ויהי g איבר ב-G, אזי $g^{n}=e$, כאשר e הוא איבר היחידה של G.

טענה זו מכלילה את משפט אוילר, משום שקבוצת המספרים הטבעיים הקטנים וזרים ל-n היא חבורה ביחס לכפל מודולו n (הקרויה חבורת אוילר), שהסדר שלה הוא $\phi (n)$ ואיבר היחידה שלה הוא 1.

הטענה האחרונה היא מקרה פרטי של טענה מרכזית בתורת החבורות:

• משפט לגראנז': הסדר של תת-חבורה של חבורה מחלק את הסדר של החבורה.

הטענה הקודמת נובעת ממשפט לגראנז' אם נקח את התת-חבורה הציקלית הנוצרת על ידי האיבר g.

על אף שכל טענה כאן חזקה יותר מזו הקודמת לה, רמת הקושי בהוכחתן אינה עולה משמעותית, ולמעשה ההוכחה של ארבע הטענות האחרונות כמעט זהה. החוכמה בהכללה היא להבין אילו תכונות של העצמים בהם עוסקים חשובות, ואילו רק מפריעות לראות את העיקר. במקרה הזה העיסוק במספרים דווקא (על כל התורה העשירה שהם מגלמים) לא היה נחוץ, וההבנה הזו היא שאפשרה להוכיח תוצאה כללית בהרבה.

ראו גם

• הפשטה (מתמטיקה)