ממד (גאומטריה אלגברית)

בגאומטריה אלגברית, המימד הוא פונקציה המתאימה לכל יריעה אלגברית מספר שלם ואי שלילי המתאר את מספר דרגות החופש של היריעה; למשל יריעה ממימד אפס היא אוסף סופי של נקודות, מימד של עקום הוא אחד ואילו המימד של היריעה האפינית - $\mathbb {A} ^{n}$ והיריעה הפרויקטיבית - $\mathbb {P} ^{n}$ הוא - $n$ . מושג המימד קיים גם בסכימות ומבנים כלליים יותר של הגאומטריה האלגברית.

ניתן להגדיר את המימד באופן אקסיומטי על ידי שלוש הנחות המשקפות את התכונות הטבעיות שעל המימד לקיים. הנחות אלו יחד עם התכונות של יריעה אלגברית גוררות את יחידות המימד. קיומו של המימד מוכח על ידי בנייה מפורשת של פונקציית מימד, למשל מימד קרול, דרגת טרנסצנדנטיות ו-מימד הילברט.

הגדרה אקסיומטית

תהי $X$ יריעה אלגברית מעל שדה $\mathbb {K}$ , לשם הפשטות נניח ש - $\mathbb {K}$ סגור אלגברית. המימד הוא פונקציה מהיריעות האלגבריות אל המספרים השלמים האי שליליים - ${\text{dim}}\{{\text{Algebraic Varities}}\}\rightarrow \mathbb {N} \cup \{0\}$ , המקיימת את התכונות הבאות:

לכל כיסוי פתוח של $X$ על ידי יריעות אפיניות $X=\cup _{i=1}^{n}X_{i}$ מתקיים ${\text{dim}}(X)=max\{{\text{dim}}(X)_{i=1}^{n}\}$ .
${\text{dim}}({\mathbb {A} }^{n})=n$ .
אם $\nu :X\twoheadrightarrow Y$ הוא מורפיזם סופי (finite morphism) בין יריעות אלגבריות ועל, אז מתקיים ${\text{dim}}(X)={\text{dim}}(Y)$ .

ממשפט שבאלה (ראה להלן) נובע שניתן להחליף את האקסיומה השלישית בהנחה אינטואיטיבית יותר -

3'. אם $\nu :X\twoheadrightarrow Y$ הוא מורפיזם עם סיבים סופיים בין יריעות אלגבריות ועל, אז מתקיים ${\text{dim}}(X)={\text{dim}}(Y)$ .

מכיוון שהנחה זאת חזקה יותר, מקשה על הוכחת הקיום של פונקציית הממד, ואין בה צורך כדי להגדיר את הממד ביחידות נוח יותר להשתמש בהנחה 3.

יחידות

לכל שתי פונקציות מימד ${\text{dim}}_{1}$ ו - ${\text{dim}}_{2}$ ולכל יריעה אלגברית $X$ מתקיים ${\text{dim}}_{1}(X)={\text{dim}}_{2}(X)$ . בשל תכונה מספר 1, הנקראת גם מקומיות, מספיק להוכיח יחידות עבור יריעות אפיניות. ממשפט הנורמליזציה של נתר נובע כי כל יריעה אפינית $X$ ממימד $n$ ניתן להעתיק סופית ועל $\mathbb {A} ^{n}$ , כלומר קיימת $\nu :X\twoheadrightarrow \mathbb {A} ^{n}$ העתקה סופית ועל. מתכונה מספר 3 נובע כי ${\text{dim}}_{1}(X)={\text{dim}}_{1}(\mathbb {A} ^{n})$ וגם ${\text{dim}}_{2}(X)={\text{dim}}_{2}(\mathbb {A} ^{n})$ יחד עם תכונה 2 נובעת יחידות המימד - ${\text{dim}}_{1}(X)={\text{dim}}_{1}(\mathbb {A} ^{n})=n={\text{dim}}_{2}(\mathbb {A} ^{n})={\text{dim}}_{2}(X)$ .

הגדרות מפורשות

נביא כמה דוגמאות מפורשות לבניית פונקציית מימד המקיימת את התכונות הנ"ל, כל אחת מהדוגמאות מספקת הוכחת קיום.

מימד קרול

ערך מורחב – מימד קרול

מימד קרול של מרחב טופולוגי $X$ הוא אורך השרשרת הארוכה ביותר של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות המוכלות ב- $X$ פחות אחת: ${\text{dim}}_{Kr}\left(X\right):=max_{n\in \mathbb {N} }\left\{Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}\subset X|Z_{i}\neq \emptyset \,\,{\text{irreducible}}\right\}$ .

הגדרה זו מתאימה גם לגאומטריה אלגברית מאחר שכל יריעה אלגברית היא בפרט מרחב טופולוגי. נוכיח כי פונקציית מימד קרול עונה על שלוש התכונות הנדרשות למימד של יריעה אלגברית:

נניח $X$ יריעה אלגברית כך ש - $X=\cup _{i=1}^{n}X_{i}$ כיסוי פתוח של יריעות אפיניות ונניח כי ${\text{dim}}_{Kr}\left(X\right)=n$ , כלומר קיימת שרשרת מאורך מקסימלי של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות $Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}\subset X$ . מאחר ש- $X=\cup _{i=1}^{n}X_{i}$ קיים $1\leq i\leq n$ כך ש - $X_{i}\cap Z_{n}\neq \emptyset$ אז $Z_{0}\cap X_{i}\subsetneq Z_{1}\cap X_{i}\subsetneq ...\subsetneq Z_{n}\cap X_{i}\subset X_{i}$ היא שרשרת של קבוצות סגורות לא ריקות ואי פריקות ב - $X_{i}$ , אז מתקיים $\dim _{Kr}\left(X_{i}\right)\geq \dim _{Kr}\left(X\right)$ . מאחר לכל $X_{1\leq i\leq n}$ וכל שרשרת $U_{0}\subsetneq U_{1}.....\subsetneq U_{n}\subset X_{i}$ של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב - $X_{i}$ ניתן להרים לשרשרת כנ"ל ב $X$ - ${\overline {U_{0}}}\subsetneq {\overline {U_{1}}}.....\subsetneq {\overline {U_{n}}}\subset X$ , נובע כי $\dim _{Kr}X\geq max\left\{\dim _{Kr}\left(X_{i}\right)\right\}_{i=1}^{n}$ . ביחד עם אי השוויון הקודם נקבל $\dim _{Kr}X=max\left\{\dim _{Kr}\left(X_{i}\right)\right\}_{i=1}^{n}$ .
נסמן $\mathbb {A} ^{n}=\left\{\left(x_{1},...,x_{n}\right)\right\}$ ונגדיר $Z_{i}:=\{x\in \mathbb {A} ^{n}|x_{i+1}=....=x_{n}=0\}$ , מאחר שלכל $i$ מתקיים $Z_{i}\cong \mathbb {A} ^{i}$ אז $Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}=\mathbb {A} ^{n}$ היא שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות, לכן, $\dim _{Kr}\left(\mathbb {A} ^{n}\right)\geq n$ . כעת נניח כי $Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p}\subset \mathbb {A} ^{n}$ היא שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות. מאחר ש- $Z_{p-1}$ מוכלת ממש ב - $\mathbb {A} ^{n}$ וסגורה קיימת פונקציה רגולרית $g\in \mathbb {K} \left[x_{1},...x_{n}\right]$ כך ש $Z_{p-1}\subset {\mathcal {V}}\left(g\right)$ , מוכלת בקבוצת האפסים של הפונקציה $g$ המסומנת על ידי ${\mathcal {V}}\left(g\right)$ . ממסקנה ממשפט הנורמליזציה של נתר נובע כי ניתן למצוא מורפיזם על וסופי $\nu :Z_{p-1}\twoheadrightarrow \mathbb {A} ^{n-1}$ , מ-3 נקבל כי $\dim _{Kr}Z_{p-1}=n-1$ ומכאן $\dim _{Kr}\left(\mathbb {A} ^{n}\right)=n$ .
נניח $\nu :X\twoheadrightarrow Y$ הוא מורפיזם סופי ועל בין יריעות אלגבריות. נניח כי $Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p}\subset X$ . היא שרשרת עולה של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב- $X$ , נסמן $W_{i}=\nu \left(Z_{i}\right)$ אז $W_{0}\subset W_{1}.....\subset W_{p}\subset Y$ היא שרשרת של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב $Y$ , מאחר ש- $\nu$ הוא מורפיזם סופי ניתן להוכיח כי זוהי שרשרת עולה $W_{0}\subsetneq W_{1}.....\subsetneq W_{p}\subset Y$ לכן $\dim _{Kr}\left(X\right)\geq \dim _{Kr}\left(Y\right)$ . לחלופין, תהא $W_{0}\subsetneq W_{1}.....\subsetneq W_{p}\subset Y$ שרשרת כנ"ל נרצה למצוא שרשרת מתאימה ב- $X$ . נפרק לרכיבי אי פריקות את תת-היריעה $\nu ^{-1}\left(W_{p}\right)=K_{1}\cup ....\cup K_{i}$ נשים לב שמאחר $\nu$ על מתקיים $W_{p}=\nu \left(K_{1}\right)\cup ....\cup \nu \left(K_{i}\right)$ ומאחר ו- $W_{p}$ אי פריקה קיים $j$ כך ש $W_{p}=\nu \left(K_{j}\right)$ . נסמן $Z_{p}:=K_{j}$ אז $\nu :Z_{p}\rightarrow K_{j}$ הוא מורפיזם על וסופי בין תת-יריעות בלתי פריקות, על ידי אינדוקציה על $p$ ניתן להשלים את $Z_{p}$ לשרשרת עולה $Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p-1}\subsetneq Z_{p}\subset X$ של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב- $X$ , ונקבל $\dim _{Kr}\left(X\right)\leq \dim _{Kr}\left(Y\right)$ . ביחד עם אי השוויון הקודם נקבל $\dim _{Kr}\left(X\right)=\dim _{Kr}\left(Y\right)$ .

דרגת טרנסצנדנטיות

ערך מורחב – דרגת הטרנסצנדנטיות

יהיו $\mathbb {K} ,\mathbb {L}$ שדות כך ש- $\mathbb {L}$ הוא הרחבת שדה של $\mathbb {K}$ . העוצמה המקסימלית של תת-קבוצה בלתי תלויה אלגברית ב- $\mathbb {L}$ מעל $\mathbb {K}$ נקראת דרגת הטרנסצנדנטיות של $\mathbb {L}$ מעל $\mathbb {K}$ ומסומנת על ידי $trans.deg\,_{\mathbb {K} }\left(\mathbb {L} \right)$ .

תהי $X$ יריעה אלגברית ו- $\left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{m}$ רכיבי האי פריקות שלה, כלומר $X=\cup _{i=1}^{n}X_{i}$ . נגדיר $\dim \,_{tr}\left(X\right)=max\left\{trans.deg\,_{\mathbb {K} }\left(\mathbb {K} \left(X_{i}\right)\right)\right\}_{i=1}^{m}$ כאשר $\mathbb {K} \left(X_{i}\right)$ הוא שדה הפונקציות של היריעה האי פריקה $X_{i}$ . ניתן להוכיח שפונקציית המימד המוגדרת באמצעות דרגת הטרנסצנדנטיות של שדות הפונקציות של תתי היריעות הבלתי פריקות מקיימת את שלוש התכונות הנדרשות למימד של יריעה אלגברית.

מימד הילברט

ערכים מורחבים – ממד הילברט, ממד גלפנד-קירילוב

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

תכונות של מימד

יריעה אלגברית נקראת שוות מימד אם כל רכיבי אי הפריקות שלה הם בעלי אותו המימד.

תכונות כלליות

תהי $X$ יריעה אלגברית ותהי $U\subset X$ קבוצה פתוחה וצפופה ב $X$ , אז $\dim \left(U\right)=\dim \left(X\right)$ .
יהי $\nu :X\rightarrow Y$ מורפיזם דומיננטי בין יריעות אלגבריות, אז $\dim \left(X\right)\geq \dim \left(Y\right)$ .

משפט האידיאל הראשי

ערך מורחב – משפט האידיאל הראשי

משפט האידיאל הראשי קובע כי עבור יריעה אלגברית אי פריקה $X$ - לכל $f$ פונקציה רגולרית על $X$ : $0\neq f\in {\mathcal {O}}\left(X\right)$ בלתי הפיכה הקבוצה $\left\{x\in X|f\left(x\right)=0\right\}$ היא יריעה שוות מימד, ממימד $\dim X-1$ . בפרט, עבור $g\in \mathbb {K} \left[x_{1},...x_{n}\right]$ פולינום לא קבוע ב- $n$ משתנים, מימד היריעה המוגדרת על ידי קבוצת האפסים של $g$ הוא $\dim {\mathcal {V}}\left(g\right)=n-1$ .

משפט שבאלה

ערך מורחב – משפט שבאלה

יהי $\nu :X\rightarrow Y$ מורפיזם בין יריעות אלגבריות, אז -

הפונקציה $\dim \left(\nu ^{-1}\left(y\right)\right)$ מקיימת כי הקבוצה $\left\{y\in Y|\dim \left(\nu ^{-1}\left(y\right)\right)\geq n\right\}$ פתוחה לכל $n\in \mathbb {N}$ טבעי.
אם בנוסף $X$ אי פריק אז לכל $Y$ מתקיים $\dim \left(\nu ^{-1}\left(y\right)\right)\geq \dim \left(X\right)-\dim {\overline {\nu \left(X\right)}}$ .

מסקנה ממשפט שבאלה - יהי $\nu :X\rightarrow Y$ מורפיזם דומיננטי בין יריעות אלגבריות כך שמימד הסיבים קבוע, כלומר קיים $n\in \mathbb {N}$ כך שלכל $y\in Y$ מתקיים $\dim \left(\nu ^{-1}\left(y\right)\right)=n$ אז $\dim \left(X\right)=n+\dim \left(Y\right)$ .

חלקות של יריעה אלגברית

תהי $X$ יריעה אלגברית, נגדיר לכל $x\in X$ את המימד המקומי ב- $x$ להיות המימד המקסימלי של כל רכיבי אי הפריקות של $X$ המכילים את הנקודה $x$ :

$\dim _{x}X:=max\left\{\dim \left(C\right)|C\subset X\,\,is\,\,irreducible,\,x\in C\right\}$ .

יריעה אלגברית $X$ נקראת חלקה בנקודה $x\in X$ אם $\dim \left(T_{x}X\right)=\dim _{x}X$ , כאשר $T_{x}X$ הוא המרחב הווקטורי המשיק זריצקי ליריעה $X$ בנקודה $x$ והמימד שלו הוא המימד הליניארי. באופן כללי מתקיים בכל נקודה על היריעה $\dim \left(T_{x}X\right)\geq \dim _{x}X$ .

דוגמאות לחישוב מימד

חישוב המימד של היריעה האפינית $X={\mathcal {V}}\left(y^{2}-x^{3}\right)$

תהי $X={\mathcal {V}}\left(y^{2}-x^{3}\right)$ היריעה האפינית ב- $\mathbb {A} ^{2}$ . נשים לב שמאחר ו- $X$ מוגדרת על ידי משוואה אחת ו- ${\text{dim}}({\mathbb {A} }^{2})=2$ נקבל כי ${\text{dim}}(X)=1$ . בנוסף, מאחר ש- $(y^{2}-x^{3})\in \mathbb {K} [x,y]$ הוא פולינום אי פריק, גם $X$ הוא יריעה אי פריקה. דרך נוספת לחשב את מימד $X$ היא בעזרת מורפיזם בירציונלי: נגדיר מפה $\phi :\mathbb {A} ^{1}\rightarrow X$ על ידי $t\mapsto \left(t^{2},t^{3}\right)$ זוהי מפה בי רציונלית עם המפה ההפוכה $\phi ^{-1}|_{U_{X}}\left(x,y\right)=y/x$ כאשר $U_{X}=\left\{\left(x,y\right)\in X|x\neq 0\right\}$ היא הקבוצה הפתוחה והצפופה ב- $X$ אשר איזומורפית לקבוצה הפתוחה והצפופה ב- $\mathbb {A} ^{1}$ $U:=\phi ^{-1}\left(U_{X}\right)$ . ונקבל $1=\dim \mathbb {A} ^{1}=\dim U=\dim U_{X}=\dim X$ .

חישוב המימד של היריעה האפינית $X={\mathcal {V}}\left(xy\right)$

תהי $X={\mathcal {V}}\left(xy\right)$ היריעה האפינית ב- $\mathbb {A} ^{2}$ . נשים לב שמאחר ו- $X$ מוגדרת על ידי משוואה אחת ו- ${\text{dim}}({\mathbb {A} }^{2})=2$ נקבל כי ${\text{dim}}(X)=1$ . בנוסף, מאחר שרכיבי הפריקות של הפולינום $(y^{2}-x^{3})\in \mathbb {K} [x,y]$ הם $x,y$ נקבל בהתאמה את רכיבי אי הפריקות של $X$ הם $X={\mathcal {V}}\left(y\right)\cup {\mathcal {V}}\left(x\right)$ ונשים לב שחוג הפונקציות הרגולריות על ${\mathcal {V}}\left(y\right)$ , המסומן ב- $\mathbb {K} \left[{\mathcal {V}}\left(y\right)\right]$ איזומורפי לחוג הפולינומים במשתנה אחד $\mathbb {K} \left[x\right]$ , כלומר $\mathbb {K} \left[{\mathcal {V}}\left(y\right)\right]\simeq \mathbb {K} \left[x\right]$ ובאופן דומה $\mathbb {K} \left[{\mathcal {V}}\left(x\right)\right]\simeq \mathbb {K} \left[y\right]$ . בפרט, דרגת הטרנצסדנטיות של שדה השברים $\mathbb {K} \left(x\right)$ היא 1, ניתן למשל לבחור את המונום $\left\{x\right\}$ כאיבר בלתי תלוי אלגברית מעל $\mathbb {K}$ , באופן דומה דרגת הטרנצסדנטיות של שדה השברים $\mathbb {K} \left(y\right)$ היא 1. על ידי שימוש במימד קרול נקבל באופן שקול לחישוב הקודם - $\dim _{tr}\left(X\right)=1$ .

חישוב המימד של הגרסמניאן $Gr(k,n)$

תהיי $X=GL(n,\mathbb {K} )$ היריעה המוגדרת על ידי החבורה הליניארית הכללית, על מנת לחשב את המימד של יריעת גרסמן $Y=Gr(k,n)$ נבנה מורפיזם על $\nu :X\twoheadrightarrow Y$ באופן הבא - יהי $L\in Gr(k,n)$ מרחב וקטורי $k$ ממדי, כל מטריצה $x\in X$ תעבור תחת המפה $\nu$ למרחב הליניארי הנפרש על ידי הפעולה של $x$ על המרחב $L$ , כלומר $\nu (x)=xL$ . נשים לב ש- $\nu$ על, משום שכל שני תתי מרחבים ליניאריים ממימד זהה צמודים על ידי מטריצת מעבר בסיס (כלומר איבר ב- $X=GL(n,\mathbb {K} )$ ).

ניתן לזהות את $L$ עם אוסף הווקטורים ממימד - $n$ עם $n-k$ קואורדינטות אחרונות שוות לאפס, כלומר $L\simeq \mathbb {K} ^{k}\subset \mathbb {K} ^{n}$ . לכן לכל $x\in X$ מתקיים $x.L=L$ אם״ם $x.L\subseteq L$ , אוסף המטריצות ב $X$ המקיים תנאי זה הוא המטריצות מהצורה ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}A&B\\0_{mat}&C\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ כאשר $0_{mat}$ הוא מטריצת אפס ממימד $k\times (n-k)$ . מכאן נקבל שלכל $y\in Y$ מתקיים $\dim \left(\nu ^{-1}\left(y\right)\right)=\dim(GL(n,\mathbb {K} ))-k\times (n-k)$ , ממסקנה ממשפט שבאלה נקבל כי $\dim(GL(n,\mathbb {K} )=\dim(Gr(k,n)+\dim(GL(n,\mathbb {K} )-k\times (n-k))$ כלומר $\dim(Gr(k,n)=k\times (n-k))$ .