משלים (מתמטיקה)
בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה $ G $ הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-$ G $ .
זאת ביחס לקבוצה $ U $ כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" – קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת-קבוצה של $ G $ .
על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת $ G $ והמשלים של $ G $ הוא הקבוצה $ U $ , ואילו החיתוך ביניהן הוא הקבוצה הריקה.
הגדרה פורמלית
תהי $ U $ קבוצה, ותהי $ G\subseteq U $ קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של $ G $ ב-$ U $ יוגדר כך:
- $ G^{c}=U-G $
סימונים מקובלים נוסף למשלים הם $ G',\complement _{U}G,{\overline {G}},-G $ . עם זאת, הסימון $ {\overline {G}} $ מתנגש לעיתים עם שימושים אחרים של הסימון בקו עליון, ולכן מקובל להימנע ממנו.
דוגמה
תהי קבוצה $ \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \} $ המכילה את כל המספרים הטבעיים.
תהי קבוצה $ A=\{2,4,6,\ldots \} $ המכילה רק את המספרים הטבעיים הזוגיים. הקבוצה $ B $ היא המשלים של $ A $ ביחס ל-$ \mathbb {N} $ אם היא מכילה את המספרים המוכלים ב-$ \mathbb {N} $ אך לא ב-$ A $ , כלומר את המספרים הטבעיים האי-זוגיים $ \{1,3,5,\ldots \} $ .
ניתן לראות כי החיתוך $ A\cap B $ נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן $ A\cup B $ יוצר את הקבוצה $ \mathbb {N} $ .
תכונות בסיסיות
$ (A^{c})^{c}=A $ – המשלים של המשלים לקבוצה הוא הקבוצה עצמה.
$ A\cap A^{c}=\varnothing $ – חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.
$ A\cup A^{c}=U $ – איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.
$ U^{c}=\varnothing $ – המשלים לקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.
$ \varnothing ^{c}=U $ – המשלים לקבוצה הריקה הוא הקבוצה האוניברסלית.
כללי דה-מורגן
כללי דה-מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים":
- $ {\begin{aligned}(A\cup B)^{c}&=A^{c}\cap B^{c}\\(A\cap B)^{c}&=A^{c}\cup B^{c}\end{aligned}} $
| נושאים בתורת הקבוצות | ||
|---|---|---|
| מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה | |
| פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית | |
| יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי | |
| פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור | |
| משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב | |
| סדר | סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר | |
| עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף | |
| אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה | |
| שונות | הפרדוקס של ראסל • השערת הרצף | |