משלים (מתמטיקה)

דיאגרמת ון של המשלים (אפור) של $G$ בקבוצת $U$

בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה $G$ הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-$G$ .

זאת ביחס לקבוצה $U$ כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" – קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת-קבוצה של $G$ .

על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת $G$ והמשלים של $G$ הוא הקבוצה $U$ , ואילו החיתוך ביניהן הוא הקבוצה הריקה.

הגדרה פורמלית

תהי $U$ קבוצה, ותהי $G\subseteq U$ קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של $G$ ב-$U$ יוגדר כך:

$G^{c}=U-G$

סימונים מקובלים נוסף למשלים הם $G',\complement _{U}G,{\overline {G}},-G$ . עם זאת, הסימון ${\overline {G}}$ מתנגש לעיתים עם שימושים אחרים של הסימון בקו עליון, ולכן מקובל להימנע ממנו.

דוגמה

תהי קבוצה $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$ המכילה את כל המספרים הטבעיים.

תהי קבוצה $A=\{2,4,6,\ldots \}$ המכילה רק את המספרים הטבעיים הזוגיים. הקבוצה $B$ היא המשלים של $A$ ביחס ל-$\mathbb {N}$ אם היא מכילה את המספרים המוכלים ב-$\mathbb {N}$ אך לא ב-$A$ , כלומר את המספרים הטבעיים האי-זוגיים $\{1,3,5,\ldots \}$ .

ניתן לראות כי החיתוך $A\cap B$ נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן $A\cup B$ יוצר את הקבוצה $\mathbb {N}$ .

תכונות בסיסיות

$(A^{c})^{c}=A$ – המשלים של המשלים לקבוצה הוא הקבוצה עצמה.

$A\cap A^{c}=\varnothing$ – חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.

$A\cup A^{c}=U$ – איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.

$U^{c}=\varnothing$ – המשלים לקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.

$\varnothing ^{c}=U$ – המשלים לקבוצה הריקה הוא הקבוצה האוניברסלית.

כללי דה-מורגן

כללי דה-מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים":

${\begin{aligned}(A\cup B)^{c}&=A^{c}\cap B^{c}\\(A\cap B)^{c}&=A^{c}\cup B^{c}\end{aligned}}$

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0