משפט אוריסון

בטופולוגיה, מרחבים מטריים עומדים בראש הפירמידה של המרחבים הטופולוגיים, כמעט בכל היבט של התאוריה. משפט אוריסון (על שם פאבל סמואילוביץ' אוריסון), הידוע גם כמשפט המטריזביליזציה, אומר שמרחבים טופולוגיים המקיימים שתי תכונות חזקות במיוחד, הם בעצם מרחבים מטריים:

• כל מרחב T3 המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מטריזבילי. כלומר: קיימת מטריקה שמשרה את הטופולוגיה הנתונה של המרחב, ולכן המרחב הוא מבחינה מעשית מרחב מטרי ספרבילי.

באופן כללי יותר, המשפט (עם אותה הוכחה) מראה שכל מרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב סמי-מטרי.

מעבר לזה, המשפט מראה שמרחבי T3 (ובפרט, מרחבי האוסדורף קומפקטיים) בעלי בסיס בן מנייה הם תת-מרחבים של מרחב הסדרות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ell_2} , ובכך הוא מבסס את המרכזיות של המרחב האחרון בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית.

הוכחה

סכמת ההוכחה

1. בשלב הראשון מראים שמרחב T3 המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב T4.
2. בשלב השני מראים שמרחב נורמלי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מטריזבילי. עושים זאת על ידי שיכון הומיאומורפי ממרחב זה לתת-מרחב של המרחב המטרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ell_2} (זהו מרחב הילברט), כאשר הבנייה נעשית באמצעות פונקציות אוריסון.
3. מוכיחים שפונקציית השיכון היא רציפה ופתוחה.

בניית השיכון

המרחב שלנו מקיים את תכונת המנייה השנייה, ולכן יש לטופולוגיה שלו בסיס בן מנייה. כל נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} במרחב X שייכת לאיבר של הבסיס, $\ x\in B_{i}$. בנוסף לזה, בגלל הרגולריות, קיים איבר בסיס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B_j} כך ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x \in B_j \subset \overline{B_j} \subset B_i} . לפי הלמה של אוריסון (למרחבים נורמליים), קיימת פונקציית אוריסון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f_{ij} : X \to [0,1]} כך ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f_{ij}(\overline{B_j}) = 0} ו $\ f_{ij}((B_{i})^{c})=1$. את הפונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f_{ij}} אפשר לסדר, ולסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{ g_n \}_{n=1}^{\infty}} , לשם הפשטות.

כעת נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G : X \to \ell_2} באמצעות הנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \forall x \in X : G(x) = \left( \frac{g_1(x)}{1} , \frac{g_2(x)}{2} , \cdots , \frac{g_n(x)}{n} , \cdots \right) } . פונקציה זו היא ההומאומורפיזם המבוקש.

בדיקות לגבי G

נותר להוכיח ש:

1. הפונקציה G מוגדרת היטב.
2. הפונקציה G היא חח"ע.
3. הפונקציה G רציפה.
4. הפונקציה G פתוחה.

1) הפונקציה G מוגדרת היטב שכן לכל x,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \| G(x) \| = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{g_n(x)}{n^2}} \leq \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} = \frac{\pi ^2}{6} < \infty } ,

ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \forall x \in X \ : \ G(x) \in \ell_2} . מכאן ש G מוגדרת היטב.

2) הפונקציה G היא חח"ע כי אם $\ x\neq y$ אזי קיימות קבוצות בסיס זרות כך ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x \in B_j \ , \ y \in B_i } (כי מרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T_3} הוא בפרט מרחב האוסדורף) ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x \in B_j \subset \overline{B_j} \subset (B_i)^c} . עליהן אפשר לבנות פונקציית אוריסון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g_n = f_{ij}} שעבורה בבירור מתקיים ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g(x) = 0 \ , \ g(y) = 1} . לכן, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \| G(x) - G(y) \| \ge \frac{1}{n^2} > 0 } , כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G(x) \ne G(y)} ולכן G חח"ע.

3) נוכיח ש G רציפה. תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \| G(x) - G(x_0) \| < \varepsilon} קבוצה פתוחה בטווח. נמצא קבוצה פתוחה V ב-X שעבור כל איבר בה האי-שוויון יתקיים. ניקח n מספיק גדול כך ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{ | g_k (x) - g_k (x_0) |^2}{k^2} < 0.5 \varepsilon} . כמו כן, לכל רכיב k=1,..,n נדרוש ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ | g_k(x) - g_k(x_0) | < \frac{k}{\sqrt{2n}} \varepsilon } . מאחר ש g_k רציפות, קיימות סביבות V_k שבהן כל פונקציה מקיימת דרישה זאת. נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V = V_1 \cap \cdots \cap V_n} (זוהי קבוצה פתוחה כחיתוך סופי של קבוצות פתוחות) ובסביבה זו ברור שמתקיימות כל הדרישות הללו. לכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \forall x \in V \ : \ \| G(x) - G(x_0) \| \le | \sum_{k=1}^{n}{\frac{ | g_k (x) - g_k (x_0) |^2}{k^2}} + \sum_{k=n+1}^{\infty}{\frac{ | g_k (x) - g_k (x_0) |^2}{k^2}} < }

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ <\sum _{k=1}^{n}{\frac {|g_{k}(x)-g_{k}(x_{0})|^{2}}{k^{2}}}+{\frac {\varepsilon }{2}}<\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varepsilon }{2n}}+{\frac {\varepsilon }{2}}<\varepsilon }

ומכאן G רציפה.

השריית המטריקה

נשים לב ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathrm{Im}G \subset \ell_2} הוא מרחב מטרי (יתרה מכך, הוא מרחב נורמי) ולכן, נשרה מטריקה על X באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ d(x,y) = \| G(x) - G(y) \|_{\ell_2} }

ובכך הוכחנו ש X מטריזבילי.

ראו גם

• פונקציית אוריסון
• מרחב רגולרי
• מרחב נורמלי
• מרחב מטרי

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

18584942משפט אוריסון