הפשטה (מתמטיקה)

במתמטיקה, הפשטה (בלועזית: אבסטרקציה) היא הליך מרכזי של זיקוק התכונות העקרוניות של אובייקט נחקר וזניחת תכונות אחרות ממשיות שלו שבמסגרתן נחקר במקור. ההפשטה מפשטת את העיסוק באובייקט ומאפשרת להכליל אותו.

מרבית תחומי המתמטיקה נולדו מתוך עיסוק בבעיות מציאותיות. על אף שהמציאות היא המוטיבציה הראשונית להולדתו של תחום מסוים, התמקדות בעצמים ממשיים עשויה לעיתים רק להפריע. מתמטיקאי יעדיף להפשיט את העצמים שהוא חוקר – למצוא אוסף פשוט ככל הניתן של תכונות המתארות את העצמים הנחקרים במידה שתספק כל צורך של המחקר.

התהליך ההפוך של לקיחת אובייקט מופשט וחקירתו דרך מופע ממשי שלו נקרא הצגה (רפרזנטציה) של האובייקט.

דוגמאות

• בעיית הגשרים של קניגסברג היא בעיה שהטרידה את תושבי קניגסברג, שביקשו לדעת האם קיים מסלול בעיר שחוצה את כל שבעת הגשרים בעיר בדיוק פעם אחת. המתמטיקאי לאונרד אוילר הוכיח שהדבר בלתי אפשרי. הוא עשה את זה על ידי הפשטה שהזניחה את הגאומטריה של העיר והתייחסה רק ליחסים בין חלקי העיר (ראו באיור מטה). פתרון זה נחשב ללידתה של תורת הגרפים, תורה החוקרת גרפים – עצמים מופשטים המדמים עצמים מציאותיים רבים, החל בגשרים וכלה בחברויות ברשת חברתית.

→ →

• תורת החבורות, שהיא תחום באלגברה מופשטת, חוקרת מבנה אלגברי מופשט הקרוי חבורה, שמאופיין על ידי מספר מצומצם של תכונות. תורת החבורות נולדה בתחילת המאה ה-19 מתוך העיסוק בפתרון משוואות פולינומיות. משוואות אלו נחקרו באמצעות התכונות של אוסף התמורות על פתרונותיהן. בסוף המאה ה-19 התגבשה ההבנה שהתוצאות שהתקבלו על אוספים של תמורות תקפות למגוון רחב יותר של אובייקטים (כגון הסימטריות של גבישים), ונוסחו התכונות הבסיסיות שמאפשרות הכללה זו. אמנם משפט קיילי קובע שהעיסוק בחבורות כלליות שקול לעיסוק בתמורות, אולם מתמטיקאים העדיפו להמשיך את המחקר דרך החבורות המופשטות, המאפשרות לראות דברים בבהירות רבה יותר.
• תורת המודלים היא תחום בלוגיקה מתמטית החוקר עצמים מתמטיים באשר הם דרך הבנת המבנה הלוגי המאפיין אותם. תחום זה מאפשר להפשיט עצמים וטענות ממגוון רחב של תחומים אחרים במתמטיקה ולחקור אותם כמעט במנותק לחלוטין ממקורם. כך למשל ההוכחה של משפט אקס-גרותנדיק, העוסק בשדה המספרים המרוכבים, מבוססת על תורת המודלים וכמעט ולא עושה שימוש בתורה האלגברית והאנליטית הענפה המאפיינת את השדה.